Εμβαδόν και τμήμα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εμβαδόν και τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 17, 2017 6:04 pm

Εμβαδόν και τμήμα.png
Εμβαδόν και τμήμα.png (12.52 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές
Το τετράπλευρο ABCD του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται στο K έχει τις εξής ιδιότητες:
AK=25, AB=20\sqrt 2 και A\widehat DB=90^0.

● Το D είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD.............β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς BC



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12471
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδόν και τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 17, 2017 9:09 pm

Ντεφορμέ  Βισβίκης.png
Ντεφορμέ Βισβίκης.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές
Η σειρά . Προφανώς R=20 και νόμος συνημιτόνων στο ABK .

Μετά βρίσκω το ( πάλι ν. συνημιτόνου ) και με άλλη μία στο BKC , την BC .

Μία τελευταία δίνει cos\theta=\dfrac{24}{25} συνεπώς sin\theta=\dfrac{7}{25} .

Τώρα E=(ABD)+(BCD)=  \dfrac{400}{2}+\dfrac{1}{2}{400}\cdot\dfrac{7}{25}=..256


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Εμβαδόν και τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Ιαν 17, 2017 9:24 pm

β) Από το Π.Θ. στο \triangle ADB έχουμε AD=BD=20.
Από το Π.Θ. στο \triangle ADK έχουμε KD=15. Οπότε BK=5.
Από τον Ν.Σ. στο \triangle BAK έχουμε \sigma \upsilon \nu \alpha =\dfrac{7\sqrt{2}}{10} (\alpha =\angle BAC).
Είναι \sigma \upsilon \nu 2\alpha =\dfrac{24}{25} (2\alpha =\angle BDC).
Από τον Ν.Σ. στο \triangle BDC προκύπτει BC=4\sqrt{2}.
α) Το ζητούμενο εμβαδόν βρίσκεται εύκολα.
Αν δεν απαντηθεί, θα επανέλθω.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εμβαδόν και τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Ιαν 17, 2017 11:48 pm

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Εμβαδόν και τμήμα.png
Εμβαδόν και τμήμα.png (22.25 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνοABD προκύπτει AD=BD=20.
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνοAKD προκύπτει DK=15. Άρα και BK=5.

Ακόμα έχουμε (AKD)=150 και (ABK)=50.

Οι γωνίες \hat{CKD},\hat{AKD} είναι παραπληρωματικές.
Συνεπώς \dfrac{(CKD)}{(AKD)} = \dfrac{CK\cdot KD}{AK\cdot KD}=\dfrac{CK}{AK}.
Αντικαθιστώντας έχουμε (CKD)= 6\cdot CK.

Επίσης οι γωνίες \hat{CKB},\hat{AKB} είναι παραπληρωματικές.
Συνεπώς \dfrac{(CKB)}{(AKB)} = \dfrac{CK\cdot KB}{AK\cdot KB}=\dfrac{CK}{AK}.
Αντικαθιστώντας έχουμε (CKB)= 2\cdot CK.

Τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνοAKD έχουμε tan\omega =\dfrac{4}{3}.
Επίσης ισχύει cos^{2}\omega =\dfrac{1}{1+tan^{2}\omega }=\dfrac{9}{25}.
Άρα cos\omega=\dfrac{3}{5} και sin\omega=\dfrac{4}{5} .

Στο ορθογώνιο τρίγωνοEKD έχουμε sin\omega =\dfrac{DE}{DK}. Άρα DE=12.
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνοEKD προκύπτει EK=9. Άρα και AE=16.
Όμως το DE είναι το απόστημα της χορδής AC. Επομένως AC=2\cdot  AE=32. Άρα καιCK=32-25=7.
Συνεπώς (CKD)= 42 , (CKB)= 14 και (ABCD)=150+50+ 42+14 = 256.

β) Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο CKB προκύπτει BC=4\sqrt{2}.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν και τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 18, 2017 10:08 am

Μετά τα προφανή Πυθαγόρεια είναι:
Εμβαδόν και τμήμα.b.png
Εμβαδόν και τμήμα.b.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές
α) \displaystyle{AK \cdot KC = {R^2} - K{D^2} \Leftrightarrow } \boxed{KC=7} και \displaystyle{(ABCD) = \frac{{AC \cdot BD}}{2}\sin \theta  \Leftrightarrow } \boxed{(ABCD)=256}

β) \displaystyle{B{C^2} = 74 - 70\cos \theta  = 32 \Leftrightarrow } \boxed{BC=4\sqrt 2} (Ένας νόμος συνημιτόνων είναι αρκετός :D )

Εναλλακτικά...
\displaystyle{(ABC) = (ABCD) -( ACD) = 256 - \frac{{20 \cdot 32}}{2}\sin ({90^0} - \theta ) = 64 \Leftrightarrow \frac{{20\sqrt 2  \cdot 32BC}}{{4R}} = 64 \Leftrightarrow } \boxed{BC=4\sqrt 2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες