Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

KARKAR · #1

: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( AB=AC )$ , τα ύψη AD , BE

, τέμνονται στο

. Πως θα

κατασκευασθεί το τρίγωνο , ώστε ο κύκλος (H,HD)

να διέρχεται από το μέσο

του

;

Η ( άλλη ) εφαπτομένη από το

προς τον κύκλο αυτό τέμνει το ύψος

στο σημείο

και την πλευρά

στο σημείο

. Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{BP}{PS}$

#2

Η κατασκευή δεν διαφέρει από αυτήν. Θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί με τον τρόπο που έχω υπόψη μου.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης

sov_arvyd · #3

Έστω ότι το φτιάξαμε. Παρατηρούμε πως τα ABD,BHD

είναι όμοια . Άρα θα είναι $\displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{HD}} \Leftrightarrow AD=BC$ . Άρα σε τμήμα

με μέσο

παίρνουμε σημείο

της μεσοκαθέτου του τέτοιο ώστε AD=BC

. Το

είναι το ζητούμενο.
Θέτουμε 1 = BC

H

είναι διχοτόμος και ύψος του SBC

και άρα είναι ισοσκελές με BC=SB

.
$\displaystyle tanEBC = \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{1}{2}$
Άρα: $\displaystyle tanSBC = \frac{{DP}}{{BD}} \Leftrightarrow tan(2 \cdot EBC) = \frac{{DP}}{{BD}} \Leftrightarrow DP = \frac{2}{3}$
ΠΘ στο BDP

και παίρνουμε $\displaystyle PB^2=DP^2+BD^2 \Leftrightarrow PB = \frac{5}{6}$ . Άρα είναι $\displaystyle \frac{{PB}}{{SB}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{PB}}{{SP}} = 5}$

#4

KARKAR έγραψε:Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( AB=AC )$ , τα ύψη , τέμνονται στο . Πως θα

κατασκευασθεί το τρίγωνο , ώστε ο κύκλος να διέρχεται από το μέσο του ;

Η ( άλλη ) εφαπτομένη από το προς τον κύκλο αυτό τέμνει το ύψος στο σημείο

και την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{BP}{PS}$

Γράφω κύκλο διαμέτρου

και σ αυτή θεωρώ σημείο

έτσι ώστε

.

Η κάθετη στην

στο

τέμνει τον κύκλο στα B,C

.

Το ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλουμε γιατί το συμμετρικό του

Ορθκέντρου τριγώνου ως προς μια πλευρά του ανήκει στον περίκυκλό του .

Θέτουμε $\boxed{HD = u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC = 2k}$ .

Θα είναι: $DT = u\,\,,\,\,\,BD = DC = 2u\,\,\,,\,\,AH = 3u\,\,,\,\,ES = 2k\,\,,\,\,BE = 4k$

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle EBC$ προκύπτει : $4{u^2} = 5{k^2}\,\,\,(1)$ . Επειδή τα ισοσκελή τρίγωνα

: Ορθόκεντρο ισοσκελoύς_δύο.png (26.71 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

$\vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BCS$ έχουν την γωνία $\widehat C$ κοινή θα είναι όμοια και άρα :

$\dfrac{{BC}}{{CS}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow 16{u^2} = 4kAB \Rightarrow 4{u^2} = kAB$ και λόγω της (1)

,

$5{k^2} = kAB \Rightarrow \boxed{AB = 5k} \Rightarrow \boxed{AS = k}$ . Μετά απ’ αυτά στο τρίγωνο $\vartriangle BCS$ με

διατέμνουσα την $\overline {APD}$ έχουμε : $(B,C,D) \cdot (C,S,A) \cdot (S,B,P) = 1$ δηλαδή :

$\dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{{CA}}{{AS}} \cdot \dfrac{{SP}}{{PB}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{PB}}{{PS}} = 5}$ .

Φιλικά, Νίκος

#5

KARKAR έγραψε:Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( AB=AC )$ , τα ύψη , τέμνονται στο . Πως θα

κατασκευασθεί το τρίγωνο , ώστε ο κύκλος να διέρχεται από το μέσο του ;

Η ( άλλη ) εφαπτομένη από το προς τον κύκλο αυτό τέμνει το ύψος στο σημείο

και την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{BP}{PS}$

Χαιρετώ!

: Ορθόκεντρο ισοσκελούς.2.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

$\displaystyle{\frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{AM + MH}}{{HD}} = \frac{{\frac{{AD}}{2} + \frac{{AD}}{4}}}{{\frac{{AD}}{4}}} = 3}$ και σύμφωνα με αυτήν θα είναι $\boxed{AD=a}$ και η κατασκευή είναι ίδια.

$\displaystyle{BD=DE=\frac{a}{2}}$ κι επειδή η

είναι διχοτόμος της $D\widehat BZ$ , θα είναι BS||=2DE.

Αλλά και πάλι από αυτή την

άσκηση είναι $\displaystyle{\frac{{BH}}{{HE}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow \frac{{BP}}{{DE}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow BP = \frac{{5a}}{6} \Rightarrow \frac{{BP}}{{BS}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{BP}{PS}=5}$

Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

Μέλη σε σύνδεση