Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 06, 2017 11:03 am

Ορθόκεντρο ισοσκελούς  2.png
Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , ( AB=AC ) , τα ύψη AD , BE , τέμνονται στο H . Πως θα

κατασκευασθεί το τρίγωνο , ώστε ο κύκλος (H,HD) να διέρχεται από το μέσο M του AD ;

Η ( άλλη ) εφαπτομένη από το B προς τον κύκλο αυτό τέμνει το ύψος AD στο σημείο P

και την πλευρά AC στο σημείο S . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{BP}{PS}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9372
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 06, 2017 12:10 pm

Η κατασκευή δεν διαφέρει από αυτήν. Θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί με τον τρόπο που έχω υπόψη μου.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Ιαν 06, 2017 11:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


sov_arvyd
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 27, 2016 8:26 pm

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sov_arvyd » Παρ Ιαν 06, 2017 9:07 pm

Έστω ότι το φτιάξαμε. Παρατηρούμε πως τα ABD,BHD είναι όμοια . Άρα θα είναι \displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{HD}} \Leftrightarrow AD=BC. Άρα σε τμήμα BC με μέσο D παίρνουμε σημείο A της μεσοκαθέτου του τέτοιο ώστε AD=BC. Το ABC είναι το ζητούμενο.
Θέτουμε 1 = BC
H BE είναι διχοτόμος και ύψος του SBC και άρα είναι ισοσκελές με BC=SB.
\displaystyle tanEBC = \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{1}{2}
Άρα: \displaystyle tanSBC = \frac{{DP}}{{BD}} \Leftrightarrow tan(2 \cdot EBC) = \frac{{DP}}{{BD}} \Leftrightarrow DP = \frac{2}{3}
ΠΘ στο BDP και παίρνουμε \displaystyle PB^2=DP^2+BD^2 \Leftrightarrow PB = \frac{5}{6}. Άρα είναι \displaystyle \frac{{PB}}{{SB}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{PB}}{{SP}} = 5}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7211
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 06, 2017 9:50 pm

KARKAR έγραψε:Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , ( AB=AC ) , τα ύψη AD , BE , τέμνονται στο H . Πως θα

κατασκευασθεί το τρίγωνο , ώστε ο κύκλος (H,HD) να διέρχεται από το μέσο M του AD ;

Η ( άλλη ) εφαπτομένη από το B προς τον κύκλο αυτό τέμνει το ύψος AD στο σημείο P

και την πλευρά AC στο σημείο S . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{BP}{PS}
Γράφω κύκλο διαμέτρου AT και σ αυτή θεωρώ σημείο D έτσι ώστε AD = 4DT.

Η κάθετη στην AT στο D τέμνει τον κύκλο στα B,C .

Το ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC είναι αυτό που θέλουμε γιατί το συμμετρικό του

Ορθκέντρου τριγώνου ως προς μια πλευρά του ανήκει στον περίκυκλό του .

Θέτουμε \boxed{HD = u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC = 2k} .

Θα είναι: DT = u\,\,,\,\,\,BD = DC = 2u\,\,\,,\,\,AH = 3u\,\,,\,\,ES = 2k\,\,,\,\,BE = 4k

Από το Π. Θ. στο \vartriangle EBC προκύπτει : 4{u^2} = 5{k^2}\,\,\,(1) . Επειδή τα ισοσκελή τρίγωνα
Ορθόκεντρο ισοσκελoύς_δύο.png
Ορθόκεντρο ισοσκελoύς_δύο.png (26.71 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
\vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BCS έχουν την γωνία \widehat C κοινή θα είναι όμοια και άρα :

\dfrac{{BC}}{{CS}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow 16{u^2} = 4kAB \Rightarrow 4{u^2} = kAB και λόγω της (1) ,

5{k^2} = kAB \Rightarrow \boxed{AB = 5k} \Rightarrow \boxed{AS = k}. Μετά απ’ αυτά στο τρίγωνο \vartriangle BCS με

διατέμνουσα την \overline {APD} έχουμε : (B,C,D) \cdot (C,S,A) \cdot (S,B,P) = 1 δηλαδή :

\dfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \dfrac{{CA}}{{AS}} \cdot \dfrac{{SP}}{{PB}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{PB}}{{PS}} = 5} .


Φιλικά, Νίκος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9372
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 07, 2017 12:09 am

KARKAR έγραψε:Ορθόκεντρο ισοσκελούς 2.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , ( AB=AC ) , τα ύψη AD , BE , τέμνονται στο H . Πως θα

κατασκευασθεί το τρίγωνο , ώστε ο κύκλος (H,HD) να διέρχεται από το μέσο M του AD ;

Η ( άλλη ) εφαπτομένη από το B προς τον κύκλο αυτό τέμνει το ύψος AD στο σημείο P

και την πλευρά AC στο σημείο S . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{BP}{PS}
Χαιρετώ!
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.2.png
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.2.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές
\displaystyle{\frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{AM + MH}}{{HD}} = \frac{{\frac{{AD}}{2} + \frac{{AD}}{4}}}{{\frac{{AD}}{4}}} = 3} και σύμφωνα με αυτήν θα είναι \boxed{AD=a} και η κατασκευή είναι ίδια.

\displaystyle{BD=DE=\frac{a}{2}} κι επειδή η DH είναι διχοτόμος της D\widehat BZ, θα είναι BS||=2DE. Αλλά και πάλι από αυτή την

άσκηση είναι \displaystyle{\frac{{BH}}{{HE}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow \frac{{BP}}{{DE}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow BP = \frac{{5a}}{6} \Rightarrow \frac{{BP}}{{BS}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{BP}{PS}=5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες