Υπολογίσιμο τμήμα

#1

: Υπολογίσιμο τμήμα.png (17.43 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Δύο κύκλοι (O,3), (K,5)

με

τέμνονται στα σημεία A, B.

Μία ευθεία που διέρχεται από το

επανατέμνει τους δύο

κύκλους στα σημεία P, Q.

Οι εφαπτόμενες των κύκλων στα P, Q

τέμνονται στο

Αν τα σημεία S, A, B

είναι συνευθειακά

(το

ανάμεσα στα S, B

), να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος SB.

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα κύριε Γιώργο!

Με Ν. Συνημιτόνων στο ΟΑΚ

έχουμε $\widehat{OAK}=120^0$ .

Άρα, $\widehat{OAP}+\widehat{KAQ}=60^0 \Leftrightarrow \widehat{POA}+\widehat{AKQ}=240^0 \widehat{PBA}+\widehat{ABQ}=120^0 \Leftrightarrow \widehat{PBW}=120^0$ .

Ακόμη, $SP^2=SA \cdot SB=SQ^2 \Leftrighttarrow SP=SQ$ , οπότε $\widehat{SQP}=\widehat{SPQ}=\widehat{QBS}$ , άρα BPSQ

εγγράψιμο, και αφού $\widehat{PBQ}=120^0$ , το SPQ

είναι ισόπλευρο.

Με Ν. Συνημιτόνων $PA=3\sqrt{3}, AQ=5\sqrt{3}$ .

Άρα, $SP=8\sqrt{3}$ .

Έστω $BA=x, \, AS=y$ .

Από το εγγράψιμο, xy=45

και ακόμη από την εφαπτόμενη y(x+y)=192

.

Τελικά, $\boxed{BS=\dfrac{64\sqrt{3}}{7}}$

KARKAR · #3

: Παραλλαγή Βισβίκη.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Αλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του

, ζητάμε και το

!

#4

KARKAR έγραψε:Παραλλαγή Βισβίκη.pngΑλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του , ζητάμε και το !

: Υπολογίσιμο τμήμα.KARKAR.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Το τρίγωνο τώρα SPQ

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές καθώς επίσης και τα τρίγωνα OAP, KAQ

.
$PQ=PA+AQ=3\sqrt 2+4\sqrt 2$ , άρα $\boxed{PQ=7\sqrt 2}$

To

είναι διπλάσιο από το ύψος του τριγώνου AOK

, δηλαδή $\displaystyle{AB = \frac{{24}}{5}}$

Τέλος, $\displaystyle{PA \cdot AQ = SA \cdot AB \Leftrightarrow 24 = SA \cdot \frac{{24}}{5} \Leftrightarrow SA = 5 \Leftrightarrow }$ $\boxed{SB=\frac{49}{5}}$

#5

KARKAR έγραψε:Παραλλαγή Βισβίκη.pngΑλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του , ζητάμε και το !

Χρόνια πολλά

: Υπολογίσιμο τμήμα.png (36.46 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές

Αφού ο Γιώργος τάγραψε αφήνω σκιάς το σχήμα.

#6

KARKAR έγραψε:Παραλλαγή Βισβίκη.pngΑλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του , ζητάμε και το !

Λίγο διαφορετικά

Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle AOK$ οι οξείες του γωνίες είναι κάθε μια το μισό

των επικέντρων στα $\tau o\xi AB$ των δύο κύκλων θα είναι, $\vartriangle AOK \approx \vartriangle BPQ\,\,\,$ συνεπώς το

$\vartriangle BPQ \to (3u,5u,4u)$ δηλαδή είναι κι αυτό ορθογώνιο ( στο

)

Είναι $\widehat \theta = \widehat {ABP}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega = \widehat {QBA}\,\,$ και αφού SP = SQ

( η

είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων) το τρίγωνο $\vartriangle SPQ$ είναι ισοσκελές

Ορθογώνιο. Αν τώρα $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KA$ κόψουν τις $SQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SP$ στα $H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$

: Υπολογίσιμο τμήμα_new.png (59.95 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Τα τετράπλευρα $OATP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KQHA$ είναι τετράγωνα πλευρών $3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,4$ αντίστοιχα

με άμεση συνέπεια : $SP = SQ = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SA = 5$ .

Προφανώς $PQ = SP\sqrt 2 \Rightarrow \boxed{PQ = 7\sqrt 2 }$ . Ας είναι τώρα

το σημείο τομής των

$OK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ . Επειδή $AM \bot OK$ και $2(ABC) = AO \cdot AK = AM \cdot OK \Rightarrow 12 = 5AM$ .

Έτσι τώρα θα είναι $SB = SA + AB = SA + 2AM = 5 + \dfrac{{24}}{5} \Rightarrow \boxed{SB = \dfrac{{49}}{5}}$

Υπολογίσιμο τμήμα

Υπολογίσιμο τμήμα

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση