Υπολογίσιμο τμήμα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9811
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Υπολογίσιμο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 03, 2017 2:07 pm

Υπολογίσιμο τμήμα.png
Υπολογίσιμο τμήμα.png (17.43 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές
Δύο κύκλοι (O,3), (K,5) με OK=7 τέμνονται στα σημεία A, B. Μία ευθεία που διέρχεται από το A επανατέμνει τους δύο

κύκλους στα σημεία P, Q. Οι εφαπτόμενες των κύκλων στα P, Q τέμνονται στο S. Αν τα σημεία S, A, B είναι συνευθειακά

(το A ανάμεσα στα S, B), να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος SB.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1632
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Ιαν 03, 2017 3:45 pm

Καλησπέρα κύριε Γιώργο!

Με Ν. Συνημιτόνων στο ΟΑΚ έχουμε \widehat{OAK}=120^0.

Άρα, \widehat{OAP}+\widehat{KAQ}=60^0 \Leftrightarrow \widehat{POA}+\widehat{AKQ}=240^0 \widehat{PBA}+\widehat{ABQ}=120^0 \Leftrightarrow \widehat{PBW}=120^0.

Ακόμη, SP^2=SA \cdot SB=SQ^2 \Leftrighttarrow SP=SQ, οπότε \widehat{SQP}=\widehat{SPQ}=\widehat{QBS}, άρα BPSQ εγγράψιμο, και αφού \widehat{PBQ}=120^0, το SPQ είναι ισόπλευρο.

Με Ν. Συνημιτόνων PA=3\sqrt{3}, AQ=5\sqrt{3}.

Άρα, SP=8\sqrt{3}.

Έστω BA=x, \, AS=y.

Από το εγγράψιμο, xy=45 και ακόμη από την εφαπτόμενη y(x+y)=192.


Τελικά, \boxed{BS=\dfrac{64\sqrt{3}}{7}}


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11906
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 03, 2017 6:30 pm

Παραλλαγή  Βισβίκη.png
Παραλλαγή Βισβίκη.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές
Αλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του SB , ζητάμε και το PQ !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9811
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 03, 2017 7:25 pm

KARKAR έγραψε:Παραλλαγή Βισβίκη.pngΑλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του SB , ζητάμε και το PQ !
Υπολογίσιμο τμήμα.KARKAR.png
Υπολογίσιμο τμήμα.KARKAR.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές
Το τρίγωνο τώρα SPQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές καθώς επίσης και τα τρίγωνα OAP, KAQ.
PQ=PA+AQ=3\sqrt 2+4\sqrt 2, άρα \boxed{PQ=7\sqrt 2}

To AB είναι διπλάσιο από το ύψος του τριγώνου AOK, δηλαδή \displaystyle{AB = \frac{{24}}{5}}

Τέλος, \displaystyle{PA \cdot AQ = SA \cdot AB \Leftrightarrow 24 = SA \cdot \frac{{24}}{5} \Leftrightarrow SA = 5 \Leftrightarrow } \boxed{SB=\frac{49}{5}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7555
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 03, 2017 8:00 pm

KARKAR έγραψε:Παραλλαγή Βισβίκη.pngΑλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του SB , ζητάμε και το PQ !
Χρόνια πολλά
Υπολογίσιμο τμήμα.png
Υπολογίσιμο τμήμα.png (36.46 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
Αφού ο Γιώργος τάγραψε αφήνω σκιάς το σχήμα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7555
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογίσιμο τμήμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 03, 2017 10:03 pm

KARKAR έγραψε:Παραλλαγή Βισβίκη.pngΑλλάζουμε κάπως τα δεδομένα μήκη , αλλά τώρα εκτός του SB , ζητάμε και το PQ !

Λίγο διαφορετικά

Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle AOK οι οξείες του γωνίες είναι κάθε μια το μισό

των επικέντρων στα \tau o\xi AB των δύο κύκλων θα είναι, \vartriangle AOK \approx \vartriangle BPQ\,\,\,συνεπώς το

\vartriangle BPQ \to (3u,5u,4u) δηλαδή είναι κι αυτό ορθογώνιο ( στο B)

Είναι \widehat \theta  = \widehat {ABP}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = \widehat {QBA}\,\, και αφού SP = SQ

( η AB είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων) το τρίγωνο \vartriangle SPQ είναι ισοσκελές

Ορθογώνιο. Αν τώρα OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KA κόψουν τις SQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SP στα H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T
Υπολογίσιμο τμήμα_new.png
Υπολογίσιμο τμήμα_new.png (59.95 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Τα τετράπλευρα OATP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KQHA είναι τετράγωνα πλευρών 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,4 αντίστοιχα

με άμεση συνέπεια : SP = SQ = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SA = 5.

Προφανώς PQ = SP\sqrt 2  \Rightarrow \boxed{PQ = 7\sqrt 2 } . Ας είναι τώρα M το σημείο τομής των

OK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB . Επειδή AM \bot OK και 2(ABC) = AO \cdot AK = AM \cdot OK \Rightarrow 12 = 5AM.

Έτσι τώρα θα είναι SB = SA + AB = SA + 2AM = 5 + \dfrac{{24}}{5} \Rightarrow \boxed{SB = \dfrac{{49}}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης