ριζικός άξονας

#1

Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους $BB_1,\,\, CC_1$ τριγώνου ABC

, έχουν ριζικό άξονα το ύψος AD.

... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!

#2

rek2 έγραψε:Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους $BB_1,\,\, CC_1$ τριγώνου , έχουν ριζικό άξονα το ύψος
... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!

Κώστα καλησπέρα!.

Το θέμα έχει ξαναπαιχτεί στο με ύλη Β' Λυκείου. Όμορφο μεν εύκολο δε . Το ενδιαφέρον είναι να το δοκιμάσουν οι μαθητές (οι περσινοί της Β' Λυκείου) γιατί οι φετινοί μαθητές δεν έχουν φέτος την ύλη που θα τους δώσει τη λύση. Για να μην νομίζουν κάποιοι ότι οι περικοπές γίνονται μόνο στις συντάξεις

Στάθης

#3

rek2 έγραψε:Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους $BB_1,\,\, CC_1$ τριγώνου , έχουν ριζικό άξονα το ύψος

... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!

Κώστα και Στάθη, Καλημέρα!

Δεν χρειάζεται να είναι διάμεσοι. Αρκεί να είναι B_1C_1||BC.

#4

rek2 έγραψε:Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους $BB_1,\,\, CC_1$ τριγώνου , έχουν ριζικό άξονα το ύψος

... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!

Για τυχαία C_1B_1||BC.

Έστω

η κοινή χορδή των δύο κύκλων, K, L

τα μέσα των BB_1, CC_1

αντίστοιχα και E, F

τα δεύτερα κοινά σημεία των AB, AC

με τους κύκλους διαμέτρων BB_1, CC_1

αντίστοιχα.

: Ριζικός άξονας.png (22.19 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Επειδή $C_1\widehat EB_1=C_1\widehat FB_1=90^0$ , το EFB_1C_1

είναι εγγράψιμο, άρα και το EFCB

. Επομένως $\displaystyle{AE \cdot AB = AF \cdot AC}$ , οπότε το

είναι σημείου του ριζικού άξονα των δύο κύκλων, δηλαδή της

.

Αλλά η διάκεντρος

είναι κάθετη στην κοινή χορδή

κι επειδή ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου BCB_1C_1

θα είναι παράλληλη και με την

, άρα $\displaystyle{PQ \bot BC}$ και το ζητούμενο έπεται.

#5

Θέμα ΣΜΑ 1977

Επειδή δύναται ο ένας κύκλος να κείται στο εσωτερικό του άλλου, στην απόδειξη του Γιώργου, ας διαβάζουμε αντί "κοινή χορδή" το "ριζικός άξονας"

Άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι η κορυφή Α έχει την ίδια δύναμη ως προς τους δύο κύκλου είναι με μετρικές σχέσεις να υπολογίσουμε τις διαφορές d^2-R^2

κ.λπ.

#6

rek2 έγραψε:Θέμα ΣΜΑ 1977

Επειδή δύναται ο ένας κύκλος να κείται στο εσωτερικό του άλλου, στην απόδειξη του Γιώργου, ας διαβάζουμε αντί "κοινή χορδή" το "ριζικός άξονας"

Άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι η κορυφή Α έχει την ίδια δύναμη ως προς τους δύο κύκλου είναι με μετρικές σχέσεις να υπολογίσουμε τις διαφορές κ.λπ.

Μία από τις πρώτες μου αναρτήσεις εδώ. Την είχα ξεχάσει εντελώς. Μου την θύμισε ο Κώστας.

ριζικός άξονας

ριζικός άξονας

Re: ριζικός άξονας

Re: ριζικός άξονας

Re: ριζικός άξονας

Re: ριζικός άξονας

Re: ριζικός άξονας

Μέλη σε σύνδεση