ριζικός άξονας

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

ριζικός άξονας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Δεκ 11, 2016 10:01 pm

Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους BB_1,\,\, CC_1 τριγώνου ABC, έχουν ριζικό άξονα το ύψος AD.

... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4052
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: ριζικός άξονας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Δεκ 11, 2016 11:00 pm

rek2 έγραψε:Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους BB_1,\,\, CC_1 τριγώνου ABC, έχουν ριζικό άξονα το ύψος AD.
... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!
Κώστα καλησπέρα!.

Το θέμα έχει ξαναπαιχτεί στο :logo: με ύλη Β' Λυκείου. Όμορφο μεν εύκολο δε ;). Το ενδιαφέρον είναι να το δοκιμάσουν οι μαθητές (οι περσινοί της Β' Λυκείου) γιατί οι φετινοί μαθητές δεν έχουν φέτος την ύλη που θα τους δώσει τη λύση. Για να μην νομίζουν κάποιοι ότι οι περικοπές γίνονται μόνο στις συντάξεις :lol:


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ριζικός άξονας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 12, 2016 11:49 am

rek2 έγραψε:Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους BB_1,\,\, CC_1 τριγώνου ABC, έχουν ριζικό άξονα το ύψος AD.

... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!
Κώστα και Στάθη, Καλημέρα!

Δεν χρειάζεται να είναι διάμεσοι. Αρκεί να είναι B_1C_1||BC.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ριζικός άξονας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 12, 2016 1:29 pm

rek2 έγραψε:Να αποδειχτεί, ότι οι κύκλοι που έχουν διαμέτρους τις διαμέσους BB_1,\,\, CC_1 τριγώνου ABC, έχουν ριζικό άξονα το ύψος AD.

... αρχικά με ύλη Α΄ ή Β΄ Λυκείου. Μετά, οι Θεοί να βάλουν το χέρι τους!
Για τυχαία C_1B_1||BC. Έστω PQ η κοινή χορδή των δύο κύκλων, K, L τα μέσα των BB_1, CC_1 αντίστοιχα και E, F τα δεύτερα κοινά σημεία των AB, AC με τους κύκλους διαμέτρων BB_1, CC_1 αντίστοιχα.
Ριζικός άξονας.png
Ριζικός άξονας.png (22.19 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές
Επειδή C_1\widehat EB_1=C_1\widehat FB_1=90^0, το EFB_1C_1 είναι εγγράψιμο, άρα και το EFCB. Επομένως \displaystyle{AE \cdot AB = AF \cdot AC}, οπότε το A είναι σημείου του ριζικού άξονα των δύο κύκλων, δηλαδή της PQ.

Αλλά η διάκεντρος KL είναι κάθετη στην κοινή χορδή PQ κι επειδή ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου BCB_1C_1 θα είναι παράλληλη και με την BC, άρα \displaystyle{PQ \bot BC} και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: ριζικός άξονας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Δεκ 13, 2016 4:45 pm

Θέμα ΣΜΑ 1977

Επειδή δύναται ο ένας κύκλος να κείται στο εσωτερικό του άλλου, στην απόδειξη του Γιώργου, ας διαβάζουμε αντί "κοινή χορδή" το "ριζικός άξονας"

Άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι η κορυφή Α έχει την ίδια δύναμη ως προς τους δύο κύκλου είναι με μετρικές σχέσεις να υπολογίσουμε τις διαφορές d^2-R^2 κ.λπ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ριζικός άξονας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 13, 2016 5:42 pm

rek2 έγραψε:Θέμα ΣΜΑ 1977

Επειδή δύναται ο ένας κύκλος να κείται στο εσωτερικό του άλλου, στην απόδειξη του Γιώργου, ας διαβάζουμε αντί "κοινή χορδή" το "ριζικός άξονας"

Άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι η κορυφή Α έχει την ίδια δύναμη ως προς τους δύο κύκλου είναι με μετρικές σχέσεις να υπολογίσουμε τις διαφορές d^2-R^2 κ.λπ.
Μία από τις πρώτες μου αναρτήσεις εδώ. Την είχα ξεχάσει εντελώς. Μου την θύμισε ο Κώστας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες