Πω, πω κύκλοι!

#1

: Πω, πω κύκλοι!.png (21.94 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

Α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC (90^0-30^0-60^0)

, να γράψετε τρεις ίσους κύκλους (O), (K), (L)

, ακτίνας

,

έτσι ώστε να εφάπτονται στην υποτείνουσα

, o

να εφάπτεται εξωτερικά με τους άλλους δύο και επιπλέον οι

κύκλοι (O), (L)

να εφάπτονται στις κάθετες πλευρές AB, AC

αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου και το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας συναρτήσει της ακτίνας

Οποιαδήποτε ομοιότητα με την επιλογή των χρωμάτων και το πλήθος των κύκλων είναι συμπτωματική και

ουδεμία σχέση έχει με την επικαιρότητα

#2

george visvikis έγραψε:Πω, πω κύκλοι!.png
Α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο , να γράψετε τρεις ίσους κύκλους , ακτίνας ,

έτσι ώστε να εφάπτονται στην υποτείνουσα , o να εφάπτεται εξωτερικά με τους άλλους δύο και επιπλέον οι

κύκλοι να εφάπτονται στις κάθετες πλευρές αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου και το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας συναρτήσει της ακτίνας

Οποιαδήποτε ομοιότητα με την επιλογή των χρωμάτων και το πλήθος των κύκλων είναι συμπτωματική και

ουδεμία σχέση έχει με την επικαιρότητα

Ας δούμε την κατασκευή και τη σχέση της ακτίνας

με τη

.

Φέρνουμε τη μεσοκάθετο στην υποτείνουσα BC = a

που τέμνει την

στο σημείο

.

Αν δε

το μέσο της

στο τμήμα

θεωρούμε σημείο

για το οποίο $\boxed{TS = SM\sqrt 3 }$ το τμήμα $\boxed{SM = R}$ .

: Πω πω κύκλοι.png (37.6 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Αν φέρουμε τη κάθετη στο

επί την

ορίζουμε πάνω σ αυτή εκατέρωθεν τα σημεία:

1. Αριστερά το κέντρο

με

και

2. Δεξιά τα K,L

με $SK = R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL = 2R$

Είναι $\boxed{a = 2R(3 + \sqrt 3 )\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{R = a\frac{{3 - \sqrt 3 }}{{12}}}$ .

Περαιτέρω λεπτομέρειες ίσως αργότερα αν δεν τις γράψει κάποιος άλλος.

Φιλικά Νίκος

#3

(Οποιαδήποτε ομοιότητα με την επιλογή των χρωμάτων και το πλήθος των κύκλων είναι συμπτωματική και
ουδεμία σχέση έχει με την επικαιρότητα)

Παρά το ότι το θέμα βρωμάει πολύ...ψαρίλα και δη γαυρίλα, θα μπω στον κόπο να ασχοληθώ για να πω και μία καλησπέρα σε δύο καλούς φίλους.

Οι κύκλοι (O,R) , (L,R)

είναι ομοιόθετοι του εγγεγραμμένου (I,r)

.
Από τις αναλογίες που προκύπτουν από αντίστοιχα όμοια τρίγωνα και καθώς OL=4R, ID=r

, προκύπτουν οι σχέσεις: $\dfrac{4R}{a}=\dfrac{IO}{IB}, \dfrac{R}{r}=\dfrac{BO}{IB}\Rightarrow \dfrac{4R}{a}+\dfrac{R}{r}=1$
Επομένως, βρίσκουμε ότι $R=\dfrac{ar}{a+4r}$ , όπου

είναι η υποτείνουσα και $r=\dfrac{(ABC)}{s}$ με

να συμβολίζουμε την ημιπερίμετρο του ABC

. Τα υπόλοιπα είναι απλές πράξεις καθώς όλα εκφράζονται συναρτήσει του

.

Πω, πω κύκλοι!

Πω, πω κύκλοι!

Re: Πω, πω κύκλοι!

Re: Πω, πω κύκλοι!

Μέλη σε σύνδεση