Πω, πω κύκλοι!

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9679
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πω, πω κύκλοι!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 07, 2016 9:09 pm

Πω, πω κύκλοι!.png
Πω, πω κύκλοι!.png (21.94 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές
Α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC (90^0-30^0-60^0), να γράψετε τρεις ίσους κύκλους (O), (K), (L), ακτίνας R,

έτσι ώστε να εφάπτονται στην υποτείνουσα BC, o (K) να εφάπτεται εξωτερικά με τους άλλους δύο και επιπλέον οι

κύκλοι (O), (L) να εφάπτονται στις κάθετες πλευρές AB, AC αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου και το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας συναρτήσει της ακτίνας R.


Οποιαδήποτε ομοιότητα με την επιλογή των χρωμάτων και το πλήθος των κύκλων είναι συμπτωματική και

ουδεμία σχέση έχει με την επικαιρότητα
:lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7428
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πω, πω κύκλοι!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 08, 2016 9:53 am

george visvikis έγραψε:Πω, πω κύκλοι!.png
Α) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC (90^0-30^0-60^0), να γράψετε τρεις ίσους κύκλους (O), (K), (L), ακτίνας R,

έτσι ώστε να εφάπτονται στην υποτείνουσα BC, o (K) να εφάπτεται εξωτερικά με τους άλλους δύο και επιπλέον οι

κύκλοι (O), (L) να εφάπτονται στις κάθετες πλευρές AB, AC αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου και το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας συναρτήσει της ακτίνας R.


Οποιαδήποτε ομοιότητα με την επιλογή των χρωμάτων και το πλήθος των κύκλων είναι συμπτωματική και

ουδεμία σχέση έχει με την επικαιρότητα
:lol:

Ας δούμε την κατασκευή και τη σχέση της ακτίνας R με τη BC.

Φέρνουμε τη μεσοκάθετο στην υποτείνουσα BC = a που τέμνει την AB στο σημείο T.

Αν δε M το μέσο της BC στο τμήμα TM θεωρούμε σημείο S για το οποίο \boxed{TS = SM\sqrt 3 } το τμήμα \boxed{SM = R}.
Πω πω κύκλοι.png
Πω πω κύκλοι.png (37.6 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές
Αν φέρουμε τη κάθετη στο S επί την TM ορίζουμε πάνω σ αυτή εκατέρωθεν τα σημεία:

1. Αριστερά το κέντρο O με SO = R και

2. Δεξιά τα K,L με SK = R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL = 2R

Είναι \boxed{a = 2R(3 + \sqrt 3 )\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{R = a\frac{{3 - \sqrt 3 }}{{12}}}.

Περαιτέρω λεπτομέρειες ίσως αργότερα αν δεν τις γράψει κάποιος άλλος.

Φιλικά Νίκος


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1104
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Πω, πω κύκλοι!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Τρί Νοέμ 08, 2016 7:57 pm

(Οποιαδήποτε ομοιότητα με την επιλογή των χρωμάτων και το πλήθος των κύκλων είναι συμπτωματική και
ουδεμία σχέση έχει με την επικαιρότητα) :(
Παρά το ότι το θέμα βρωμάει πολύ...ψαρίλα και δη γαυρίλα, θα μπω στον κόπο να ασχοληθώ για να πω και μία καλησπέρα σε δύο καλούς φίλους.

Οι κύκλοι (O,R) , (L,R) είναι ομοιόθετοι του εγγεγραμμένου (I,r).
Από τις αναλογίες που προκύπτουν από αντίστοιχα όμοια τρίγωνα και καθώς OL=4R, ID=r, προκύπτουν οι σχέσεις: \dfrac{4R}{a}=\dfrac{IO}{IB}, \dfrac{R}{r}=\dfrac{BO}{IB}\Rightarrow \dfrac{4R}{a}+\dfrac{R}{r}=1
Επομένως, βρίσκουμε ότι R=\dfrac{ar}{a+4r}, όπου a είναι η υποτείνουσα και r=\dfrac{(ABC)}{s} με s να συμβολίζουμε την ημιπερίμετρο του ABC. Τα υπόλοιπα είναι απλές πράξεις καθώς όλα εκφράζονται συναρτήσει του a.
Συνημμένα
ακτίνα.png
ακτίνα.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης