Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Κυρ Νοέμ 06, 2016 11:16 am

Δίνεται τρίγωνο ABC με \hat{B} = 120^o και BD \perp BA όπου D σημείο της πλευράς AC.

Αν AB = DC = 1 , να υπολογίσετε το τμήμα AD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
big-pitsirikos
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τετ Οκτ 19, 2016 11:25 am

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από big-pitsirikos » Κυρ Νοέμ 06, 2016 12:05 pm

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC με \hat{B} = 120^o και BD \perp BA όπου D σημείο της πλευράς AC.

Αν AB = DC = 1 , να υπολογίσετε το τμήμα AD.
Αν \widehat{BAC}=\varphi, τότε \widehat{DCB}=60-\varphi. Έστω ακόμη AD=x, BD=y

Με νόμο ημιτόνων στο BAC, \sin(60-\varphi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2x+2}, και με νόμο ημιτόνων στο BCD, \sin(60-\varphi)=\dfrac{y}{2}.

Άρα, \dfrac{\sqrt{3}}{2x+2}=\dfrac{y}{2} \Leftrightarrow \boxed{(x+1)y=\sqrt{3}} (1).

Με Π.Θ., \boxed{x^2=y^2+1} (2).

Λύνουμε το σύστημα των (1), (2) και παίρνουμε AD=x=\sqrt[3]{2}.


Αλίμονο σ'αυτούς που δεν ξέρουν ότι δεν ξέρουν αυτά που δεν ξέρουν !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 06, 2016 3:27 pm

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC με \hat{B} = 120^o και BD \perp BA όπου D σημείο της πλευράς AC.

Αν AB = DC = 1 , να υπολογίσετε το τμήμα AD.
length-dimplak.1.png
length-dimplak.1.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές
Φέρνω \displaystyle{AE,DH \bot BC} και έχω: \displaystyle{DH||AE \Leftrightarrow \frac{{DH}}{{AE}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow }

\displaystyle{{x^4} + 2{x^3} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^3}(x + 2) - 2(x + 2) = 0 \Leftrightarrow (x + 2)({x^3} - 2) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} } \boxed{x = \sqrt[3]{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 07, 2016 7:19 am

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC με \hat{B} = 120^o και BD \perp BA όπου D σημείο της πλευράς AC.

Αν AB = DC = 1 , να υπολογίσετε το τμήμα AD.
Με \displaystyle{EC \bot AC \Rightarrow BDCE} εγγράψιμο\displaystyle{ \Rightarrow \angle DBC = \angle DEC = {30^0} \Rightarrow DE = 2} και \displaystyle{EC = \sqrt 3 }

\displaystyle{\vartriangle ABC \simeq \vartriangle ADE \Rightarrow \frac{{AE}}{{x + 1}} = \frac{x}{1} \Rightarrow AE = {x^2} + x} και

με Π.Θ στο \displaystyle{\vartriangle ACE \Rightarrow {\left( {{x^2} + x} \right)^2} = {(x + 1)^2} + 3 \Leftrightarrow (x + 2)({x^3} - 2) = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = \sqrt[3]{2}}}(αφού \displaystyle{x > 0})
mt.png
mt.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3336
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Νοέμ 07, 2016 8:32 am

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ABC με \hat{B} = 120^o και BD \perp BA όπου D σημείο της πλευράς AC.

Αν AB = DC = 1 , να υπολογίσετε το τμήμα AD.
Καλημέρα.
Μήκος-τμήματος-σε-πλευρά-τριγώνου.png
Μήκος-τμήματος-σε-πλευρά-τριγώνου.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές
Αν DE \bot BD, τότε από \triangleleft CDE \sim  \triangleleft CAB \Rightarrow DE = \dfrac{1}{{x + 1}}

Από \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\mathop  = \limits^{\varepsilon \varphi {{30}^ \circ }} \dfrac{{DE}}{{BD}} \Rightarrow BD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{x + 1}} και από Π.Θ. στο \triangleleft ADB:{x^2} = 1 + \dfrac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} με δεκτή λύση x = \sqrt[3]{2}

Υ.Γ(1) Με την τελευταία αναβάθμιση της Geogebra δε μου δουλεύει το latex. Συμβαίνει και σε άλλους ή μόνο σε μένα;

Υ.Γ(2) Για να σχεδιάσουμε κυβική ρίζα στη Geogebra χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση cbrt(x)


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8089
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 07, 2016 8:56 am

Καλημέρα σε όλους.

Για το ωραίο αυτό θέμα

Δείτε Εδώ και άλλες απόψεις

Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες