Δισδιάμεσος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δισδιάμεσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 25, 2016 1:54 pm

Δισδιάμεσος.png
Δισδιάμεσος.png (8.59 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές
Το M είναι το μέσο του τμήματος BC . Γράφω τον κύκλο (B,BM) .

Εντοπίστε σημείο A αυτού του κύκλου , τέτοιο ώστε : AC=2AM



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3329
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Δισδιάμεσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Οκτ 25, 2016 2:42 pm

KARKAR έγραψε:Το M είναι το μέσο του τμήματος BC . Γράφω τον κύκλο (B,BM) .

Εντοπίστε σημείο A αυτού του κύκλου , τέτοιο ώστε : AC=2AM
Δισδιάμεσος.png
Δισδιάμεσος.png (17.02 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές
Από πρώτο θεώρημα διαμέσων στο \triangleleft ABC:\,{R^2} + 4{x^2} = 2{x^2} + \dfrac{{4{R^2}}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δισδιάμεσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Οκτ 25, 2016 2:52 pm

Φέρνουμε την AB και με μια απλή εφαρμογή του θεωρήματος διαμέσων στο ABC, προκύπτει ότι: AB=BM=MC=\sqrt{2}x. Άρα για τον προσδιορισμό του A, φέρνουμε κύκλο με κέντρο B και ακτίνας \dfrac{BM}{\sqrt{2}} και η τομή του με τον αρχικό κύκλο είναι το σημείο A.

EDIT: Με πρόλαβαν


Houston, we have a problem!
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2097
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Δισδιάμεσος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 25, 2016 5:25 pm

KARKAR έγραψε:Δισδιάμεσος.pngΤο M είναι το μέσο του τμήματος BC . Γράφω τον κύκλο (B,BM) .

Εντοπίστε σημείο A αυτού του κύκλου , τέτοιο ώστε : AC=2AM
Μια λύση ακόμη με ύλη Α Λυκείου και η κατασκευή
Αν BM=MC=a,AM=x,AC=2x,MN//AB, \hat{BMA}=\omega =\hat{AMN}=\hat{BAM},\hat{BAC}=\hat{AMC}=180-\omega

Από τα όμοια τρίγωνα BAC,AMC,\dfrac{a}{x}=\dfrac{2x}{a}\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2x=a\sqrt{2}
Kατασκευάζουμε BP\perp BC,BE\perp PM τότε είναι PE=EM=x και ο κύκλος (M,x) τέμνει τον κύκλο (B.BM) στο ζητούμενο σημείο A



Γιάννης
Συνημμένα
Δισδιάμεσος.png
Δισδιάμεσος.png (72.89 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δισδιάμεσος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 25, 2016 6:18 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
KARKAR έγραψε:Το M είναι το μέσο του τμήματος BC . Γράφω τον κύκλο (B,BM) .

Εντοπίστε σημείο A αυτού του κύκλου , τέτοιο ώστε : AC=2AM
Δισδιάμεσος.pngΑπό πρώτο θεώρημα διαμέσων στο \triangleleft ABC:\,{R^2} + 4{x^2} = 2{x^2} + \dfrac{{4{R^2}}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}
Καλησπέρα σε όλους.

Πρώτα πρώτα οι λύσεις που δόθηκαν είναι οι ενδεδειγμένες .
Δισδιάμεσος.png
Δισδιάμεσος.png (18.72 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές
Δίδουμε μόνο την κατασκευή της λύσης αλλά με διαφορετική άποψη . Επί πλέον φαίνεται ξεκάθαρα ότι η δέσμη

A(BDMC) είναι αρμονική που παραπέμπει και σε άλλη,θεωρητικά, κατασκευή .

Έχουμε ακόμη μια ιδιότυπη ισότητα γωνιών .

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δισδιάμεσος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 25, 2016 6:22 pm

KARKAR έγραψε:Δισδιάμεσος.pngΤο M είναι το μέσο του τμήματος BC . Γράφω τον κύκλο (B,BM) .

Εντοπίστε σημείο A αυτού του κύκλου , τέτοιο ώστε : AC=2AM
Χαιρετώ!
Δισδιάμεσος.png
Δισδιάμεσος.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές
Κατασκευή: Προεκτείνω την MB προς το μέρος του B κατά τμήμα BE=R/2 και φέρνω τη μεσοκάθετο του EC

που τέμνει τον κύκλο στα A, A' που είναι και τα ζητούμενα σημεία του προβλήματος.

Απόδειξη: Είναι \displaystyle{BN = \frac{{3R}}{4}} και \displaystyle{NM = \frac{R}{4} \Leftrightarrow NC = \frac{{5R}}{4}}. Από Π. Θ στα τρίγωνα ABN, ANM, ANC βρίσκω:

\displaystyle{A{N^2} = \frac{{7{R^2}}}{{16}},{x^2} = \frac{{{R^2}}}{2}} και \displaystyle{A{C^2} = 2{R^2} = 4{x^2} \Leftrightarrow } \boxed{AC=2x}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δισδιάμεσος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 25, 2016 7:06 pm

Δισδιάμεσος - λύση.png
Δισδιάμεσος - λύση.png (11.47 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές
Πάνω στη μεσοκάθετη της BC παίρνουμε σημείο S , ώστε BS=\dfrac{4R}{3}

Η τομή της BS με τον κύκλο , δίνει τη θέση του σημείου A . Εξηγήστε το !


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δισδιάμεσος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 25, 2016 7:44 pm

KARKAR έγραψε:Δισδιάμεσος - λύση.pngΠάνω στη μεσοκάθετη της BC παίρνουμε σημείο S , ώστε BS=\dfrac{4R}{3}

Η τομή της BS με τον κύκλο , δίνει τη θέση του σημείου A . Εξηγήστε το !

Η από το S παράλληλη στην AM τέμνει την BC στο T.

Από το ισοσκελές τραπέζιο AMTS έχουμε AT = SM και άρα η AT είναι εφαπτομένη του κύκλου στο A. Θέτουμε \boxed{R = 3a}
Extra στη δισδιάμεσος.png
Extra στη δισδιάμεσος.png (23.66 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές
Επειδή εύκολα έχουμε : \boxed{\frac{{TM}}{{TC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{{3a}}{{6a}} = \frac{{BM}}{{BC}}} τα σημεία T\,,B αρμονικά συζυγή

των M,\,C κι αφού AT \bot BA η AT εσωτερική διχοτόμος στο \vartriangle AMC.

Το ζητούμενο εμφανές .

Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης