mathematica.gr

Με αφορμή κάποια θέματα όπου δίνονται γωνίες τριγώνου, πάντα αναρωτιέμαι αν είναι εφικτή η κατασκευή του σχήματος μέσα στην εκφώνηση

με κανόνα και διαβήτη! Κάνω μία αρχή εδώ ώστε να συγκεντρώσω ιδέες για το ποιες γωνίες με γνωστή αριθμητική μπορούμε να κατασκευάσουμε με

κανόνα και διαβήτη και με ποιους τρόπους!

Στο παρακάτω άρθρο περιγράφεται η κατασκευή της γωνίας των 20 μοιρών , οπότε μετά είναι εφικτή και η κατασκευή των γωνιών των 10,40,50,70,80,100,110,130,140,160,170 μοιρών.

https://randypradana.wordpress.com/math ... d-compass/

Κατασκευή γωνίας μοιρών η
ΔΕΝ είναι δυνατή με κανόνα και διαβήτη.
Φυσικά ούτε οι άλλες που αναφέρονται

dimplak έγραψε: Κάνω μία αρχή εδώ ώστε να συγκεντρώσω ιδέες για το ποιες γωνίες με γνωστή αριθμητική μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη και με ποιους τρόπους!

Το θέμα είναι πάρα πολύ γνωστό, χιλιοειπωμένο και εξαντλημένο. Για αναφορά σε αυτό στο mathematica βλέπε εδώ. Κοντολογίς, οι ακέραιες γωνίες που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη είναι τα πολλαπλάσια του και ΚΑΜΙΑ ΑΛΛΗ.

dimplak έγραψε: Στο παρακάτω άρθρο περιγράφεται η κατασκευή της γωνίας των 20 μοιρών , οπότε μετά είναι εφικτή και η κατασκευή των γωνιών των 10,40,50,70,80,100,110,130,140,160,170 μοιρών.

https://randypradana.wordpress.com/math ... d-compass/

Το άρθρο λέει απόλυτες αρλούμπες. Για παράδειγμα ισχυρίζεται ότι η γωνία είναι όποιο και αν είναι το σημείο επί της διχοτόμου της . Απίστευτο!

Μου κάνει εντύπωση ότι υπάρχει η παραπομπή από το δικό μας φόρουμ, σίγουρα ένα φόρουμ με ποιοτικά Μαθηματικά, σε ιστοσελίδα απόλυτα άσχετου περί την Γεωμετρία. Τι να πει κανείς.

Ελπίζω οι μαθητές να μην πέσουν στην παγίδα του άσχετου "γεωμέτρη" στην εν λόγω ιστοσελίδα (ο οποίος παρεμπιπτόντως τριχοτόμησε την γωνία δεδομένου ότι , ενώ σε ΟΛΑ ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ Θεωρίας Galois αποδεικνύεται ότι η συγκεκριμένη γωνία δεν τριχοτομείται). Έλεος!

Η "γωνία των μοιρών" που ο συγγραφέας διατείνεται ότι κατασκεύασε είναι στην πραγματικότητα .

dimplak έγραψε: Στο παρακάτω άρθρο περιγράφεται η κατασκευή της γωνίας των 20 μοιρών , οπότε μετά είναι εφικτή και η κατασκευή των γωνιών των 10,40,50,70,80,100,110,130,140,160,170 μοιρών.

https://randypradana.wordpress.com/math ... d-compass/

Καλημέρα!

Η κατασκευή που περιγράφεται σ' αυτό το σύνδεσμο είναι ΑΠΑΤΗ! Παίρνει ένα σημείο (χωρίς να εξηγεί πώς) πάνω στη διχοτόμο

της γωνίας των και μετά ως δια μαγείας εμφανίζει μία γωνία . Εν ολίγοις η γωνία δεν κατασκευάζεται με κανόνα και

διαβήτη γιατί ΔΕΝ ΤΡΙΧΟΤΟΜΕΙΤΑΙ η γωνία των . Αξίζει να ρίξουμε μια ματιά εδώ

Με πρόλαβαν, το αφήνω.

Καλημέρα και πάλι!

Προφανώς το άρθρο το έδωσα ως ερέθισμα - δεν το υιοθέτησα - για να ξεκινήσει η συνομιλία πάνω σε αυτόν τον προβληματισμό!

Είδα και αρκετά βίντεο στο youtube αλλά σε κανένα δε δίνεται απόδειξη ή δίνεται προσεγγιστική απόδειξη με τριγωνομετρία!

Ο προβληματισμός μου είναι παράλληλος και θα ήθελα την άποψη σας πάνω σε αυτό!

Από τη μία αποδεικνύουμε ότι η κατασκευή συγκεκριμένων γωνιών με κανόνα και διαβήτη δεν επιτυγχάνεται, από την άλλη όμως τις δεχόμαστε

σε ασκήσεις και λύνουμε την άσκηση με καθαρά ευκλείδεια γεωμετρία! Η Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να δεχτεί μέσα στη θεωρία της

και άλλους τρόπους κατασκευής με άλλα γεωμετρικά όργανα;

Ευχαριστώ!

Καλημέρα σε όλους. Είχα σταματήσει να διαβάζω το κείμενο μόλις έφτασα στο σημείο:

Angle Trisection is still considered impossible...

Η τριχότομηση (τυχαίας, εννοεί) γωνίας είναι ΑΚΟΜΗ (!!) αδύνατη... (Σα να λέγαμε: Η ελπίδα πεθαίνει τελευταία...).


Όμως, μετά το διάλογο που ακολούθησε, θυμήθηκα ένα παρόμοιο ερώτημα, το οποίο έψαξα και εντόπισα ΕΔΩ.

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλημέρα σε όλους. Είχα σταματήσει να διαβάζω το κείμενο μόλις έφτασα στο σημείο:

Angle Trisection is still considered impossible...

Η τριχότομηση (τυχαίας, εννοεί) γωνίας είναι ΑΚΟΜΗ (!!) αδύνατη... (Σα να λέγαμε: Η ελπίδα πεθαίνει τελευταία...).


Όμως, μετά το διάλογο που ακολούθησε, θυμήθηκα ένα παρόμοιο ερώτημα, το οποίο έψαξα και εντόπισα ΕΔΩ.

Ο προβληματισμός ουσιαστικό ησύχασε εκεί και ξύπνησε ξανά σήμερα με άλλα ερεθίσματα γιατί δεν έχει απαντηθεί ακόμα!

Δεν αμφισβητώ τίποτα από τη θεωρία της Ευκλείδειας γεωμετρίας!

Γιατί όμως δεν απορρίπτουμε αμέσως μία άσκηση διότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί το σχήμα με κανόνα και διαβήτη ;

Απόδειξη ότι η συγκεκριμένη γωνία δεν είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη:

http://www.maa.org/sites/default/files/ ... p0432j.pdf

Θεωρώ ότι οι Γενικοί Συντονιστές θα πρέπει να αλλάξουν
τον τίτλο της ανάρτησης.
Μας παρακολουθούν και μαθητές που αν δουν μόνο τον τίτλο
θα έχουν εσφαλμένη εντύπωση.

Συμπλήρωμα.
Βλέπω ότι άλλαξε ο τίτλος.Νομίζω ότι ό καινούργιος είναι εντάξει.

dimplak έγραψε: Γιατί όμως δεν απορρίπτουμε αμέσως μία άσκηση διότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί το σχήμα με κανόνα και διαβήτη ;

Πιστεύω ότι το θέμα είναι υποκειμενικό, οπότε θα αναφέρω την προσωπική μου άποψη, ανεξάρτητα αν είναι ή όχι αποδεκτή. Όλοι έχουμε κατά καιρούς ακούσει την έκφραση ποιητική αδεία. Αν ανατρέξουμε σε κάποιο λεξικό θα δούμε ότι αναφέρεται στην "ελευθερία που αναγνωρίζεται σε ένα ποιητή να αποκλίνει από τους συμβατικούς κανόνες της γλώσσας, προς όφελος του λογοτεχνικού αποτελέσματος".

Έτσι ακριβώς συμβαίνει και με αυτού του είδους τις ασκήσεις. Προσωπικά λοιπόν, θα δεχόμουν, γεωμετρική αδεία, μία τέτοια άσκηση ανεξάρτητα αν κατασκευάζεται ή όχι γεωμετρικά το σχήμα. Ίσως το όφελος από τη λύση είναι μεγαλύτερο από την κατασκευασιμότητα ή μη του σχήματος. Ας μην ξεχνάμε άλλωστε, ότι επειδή δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά μία γωνία , δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει.

george visvikis έγραψε:

dimplak έγραψε: Γιατί όμως δεν απορρίπτουμε αμέσως μία άσκηση διότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί το σχήμα με κανόνα και διαβήτη ;

Πιστεύω ότι το θέμα είναι υποκειμενικό, οπότε θα αναφέρω την προσωπική μου άποψη, ανεξάρτητα αν είναι ή όχι αποδεκτή. Όλοι έχουμε κατά καιρούς ακούσει την έκφραση ποιητική αδεία. Αν ανατρέξουμε σε κάποιο λεξικό θα δούμε ότι αναφέρεται στην "ελευθερία που αναγνωρίζεται σε ένα ποιητή να αποκλίνει από τους συμβατικούς κανόνες της γλώσσας, προς όφελος του λογοτεχνικού αποτελέσματος".

Έτσι ακριβώς συμβαίνει και με αυτού του είδους τις ασκήσεις. Προσωπικά λοιπόν, θα δεχόμουν, γεωμετρική αδεία, μία τέτοια άσκηση ανεξάρτητα αν κατασκευάζεται ή όχι γεωμετρικά το σχήμα. Ίσως το όφελος από τη λύση είναι μεγαλύτερο από την κατασκευασιμότητα ή μη του σχήματος. Ας μην ξεχνάμε άλλωστε, ότι επειδή δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά μία γωνία , δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει.

κ. Βισβίκη,

Εκτιμώ την ειλικρίνειά σας!

Το έργο που προσφέρετε καθημερινά αφιλοκερδώς σε εμάς τους νεότερους είναι πηγή έμπνευσης και δύναμης! Η άποψή σας είναι αισιόδοξη στο

... υπαρξιακό αυτό γεωμετρικό δίλημμά μου!

Ευχαριστώ!

george visvikis έγραψε:Ας μην ξεχνάμε άλλωστε, ότι επειδή δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά μία γωνία , δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει.

Σωστά.

Να προσθέσω ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές (*), με την μαθηματική έννοια του όρου, δηλαδή θεωρούν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αφηρημένες έννοιες που υπάρχουν κάπου εκεί έξω ανεξάρτητα από εμάς. Π.χ. ακόμη και αν χρησιμοποιήσουμε διαβήτη μπορεί να μην κατασκευάσουμε έναν «τέλειο κύκλο». Αυτό όμως δεν μας αποτρέπει να αποδεικνύουμε αποτελέσματα για αυτόν τον τέλειο κύκλο (που υπάρχει κάπου εκεί έξω) και όχι για τον δικό μας ίσως κακοσχεδιασμένο κύκλο.

(*) Όταν όμως μας πιέσουν να εξηγήσουμε τι είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο, από Πλατωνιστές γινόμαστε φορμαλιστές και δίνουμε ορισμούς όπως αυτόν εδώ.

Προσωπικά, νιώθω πολύ ταπεινός γεωμέτρης κάθε φορά που δημοσιεύω κάτι εδώ ή βλέπω μία κομψή λύση σε μία άσκηση και κάθε φορά μαθαίνω από

τους γενναιόδωρους συναδέλφους. Έτσι νιώθω ότι δεν μπορώ να δω τόσο φιλοσοφικά το θέμα της κατασκευής στη γεωμετρία και απλά θα το

περιορίσω διδακτικά. Εννοώ ότι αν βάζουμε ένα πρόβλημα γεωμετρίας να τονίζουμε αν ζητάμε καθαρά ευκλείδεια λύση και αν η κατασκευή του

σχήματος είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη. Άραγε γιατί η κατασκευή του σχήματος έχει εκλείψει τελείως ή δε ζητείται ή γίνεται πρόχειρα στον

πίνακα της τάξης πλέον χωρίς γεωμετρικά όργανα ; Φανερά , μέσα στην τάξη , η διαδικασία της κατασκευής έχει περιοριστεί στο απόλυτα αναγκαίο

για την εποπτική αντίληψη και όλα έχουν μετατραπεί σε μία πνευματική άσκηση και πράξεις. Εδώ στο φόρουμ όλα τα σχήματα γίνονται πλέον και

είναι υποχρεωτικό πλέον να γίνονται στο geogebra! Το geogebra ανάλογα με τις ικανότητες hardware του υπολογιστή και της οθόνης του χρήστη

σκέφτεται ως μηχανικός και όχι ως γεωμέτρης λειτουργώντας με αλγόριθμους προσέγγισης στα γραφικά! Σε μία μελλοντική τάξη λοιπόν, ο κανόνας

και ο διαβήτης θα είναι μόνο ... πνευματικοί κανόνες - όροι του παιχνιδιού και δε θα χρειάζεται να λερώσεις τα χέρια σου! Πλέον έχουμε φτάσει

στο σημείο να πειραματιζόμαστε στο geogebra και να ανακαλύπτουμε σταθερά σημεία και σχέσεις και μετά να ζητάμε ευκλείδεια απόδειξη!

Διδακτικά , λοιπόν, έχοντας υπόψιν τα περίφημο βιβλίο του Μαυρίκιου Μπρίκα Τα περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας αλλά και

το http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED058058.pdf , θα έμπαινα στη τάξη κάθε φορά με όλα τα όπλα του γεωμέτρη , όχι μόνο με τον κανόνα και

το διαβήτη , και αν ήθελα να βάλω μία άσκηση τέτοια, θα εντυπωσίαζα τους μαθητές με έναν τέλειο μηχανικό τριχοτομητή αλλά με κιμωλία!

Σχεδόν άσχετο αλλά διασκεδάστε επισκεπτόμενοι την ανάρτηση αυτή

KARKAR έγραψε:Σχεδόν άσχετο αλλά διασκεδάστε επισκεπτόμενοι την ανάρτηση αυτή

Δε φοβάμαι τίποτα πλέον! Τριχοτομώ τα πάντα!

https://sites.google.com/site/mathschal ... pantograph