Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 11, 2016 9:32 am

Με αφορμή κάποια θέματα όπου δίνονται γωνίες τριγώνου, πάντα αναρωτιέμαι αν είναι εφικτή η κατασκευή του σχήματος μέσα στην εκφώνηση

με κανόνα και διαβήτη! Κάνω μία αρχή εδώ ώστε να συγκεντρώσω ιδέες για το ποιες γωνίες με γνωστή αριθμητική μπορούμε να κατασκευάσουμε με

κανόνα και διαβήτη και με ποιους τρόπους!

Στο παρακάτω άρθρο περιγράφεται η κατασκευή της γωνίας των 20 μοιρών , οπότε μετά είναι εφικτή και η κατασκευή των γωνιών των 10,40,50,70,80,100,110,130,140,160,170 μοιρών.

https://randypradana.wordpress.com/math ... d-compass/
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Τρί Οκτ 11, 2016 12:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 11, 2016 9:50 am

Κατασκευή γωνίας 20 μοιρών η\frac{\pi }{9}
ΔΕΝ είναι δυνατή με κανόνα και διαβήτη.
Φυσικά ούτε οι άλλες που αναφέρονται


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13578
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 11, 2016 10:55 am

dimplak έγραψε: Κάνω μία αρχή εδώ ώστε να συγκεντρώσω ιδέες για το ποιες γωνίες με γνωστή αριθμητική μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη και με ποιους τρόπους!
Το θέμα είναι πάρα πολύ γνωστό, χιλιοειπωμένο και εξαντλημένο. Για αναφορά σε αυτό στο mathematica βλέπε εδώ. Κοντολογίς, οι ακέραιες γωνίες που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη είναι τα πολλαπλάσια του 3 και ΚΑΜΙΑ ΑΛΛΗ.
dimplak έγραψε: Στο παρακάτω άρθρο περιγράφεται η κατασκευή της γωνίας των 20 μοιρών , οπότε μετά είναι εφικτή και η κατασκευή των γωνιών των 10,40,50,70,80,100,110,130,140,160,170 μοιρών.

https://randypradana.wordpress.com/math ... d-compass/
Το άρθρο λέει απόλυτες αρλούμπες. Για παράδειγμα ισχυρίζεται ότι η γωνία JAB είναι 20^o όποιο και αν είναι το σημείο J επί της διχοτόμου της SOB. Απίστευτο!

Μου κάνει εντύπωση ότι υπάρχει η παραπομπή από το δικό μας φόρουμ, σίγουρα ένα φόρουμ με ποιοτικά Μαθηματικά, σε ιστοσελίδα απόλυτα άσχετου περί την Γεωμετρία. Τι να πει κανείς.

Ελπίζω οι μαθητές να μην πέσουν στην παγίδα του άσχετου "γεωμέτρη" στην εν λόγω ιστοσελίδα (ο οποίος παρεμπιπτόντως τριχοτόμησε την γωνία 60^o δεδομένου ότι \frac {1}{3} \cdot 60^o= 20^o , ενώ σε ΟΛΑ ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ Θεωρίας Galois αποδεικνύεται ότι η συγκεκριμένη γωνία δεν τριχοτομείται). Έλεος!


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Οκτ 11, 2016 10:57 am

Η "γωνία των 20 μοιρών" που ο συγγραφέας διατείνεται ότι κατασκεύασε είναι στην πραγματικότητα \displaystyle \cos^{-1} \frac{5}{2 \sqrt{7}} \neq 20^{\circ}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10736
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 11, 2016 11:15 am

dimplak έγραψε: Στο παρακάτω άρθρο περιγράφεται η κατασκευή της γωνίας των 20 μοιρών , οπότε μετά είναι εφικτή και η κατασκευή των γωνιών των 10,40,50,70,80,100,110,130,140,160,170 μοιρών.

https://randypradana.wordpress.com/math ... d-compass/
Καλημέρα!

Η κατασκευή που περιγράφεται σ' αυτό το σύνδεσμο είναι ΑΠΑΤΗ! Παίρνει ένα σημείο (χωρίς να εξηγεί πώς) πάνω στη διχοτόμο

της γωνίας των 60^0 και μετά ως δια μαγείας εμφανίζει μία γωνία 20^0. Εν ολίγοις η γωνία 20^0 δεν κατασκευάζεται με κανόνα και

διαβήτη γιατί ΔΕΝ ΤΡΙΧΟΤΟΜΕΙΤΑΙ η γωνία των 60^0. Αξίζει να ρίξουμε μια ματιά εδώ

Με πρόλαβαν, το αφήνω.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 11, 2016 11:53 am

Καλημέρα και πάλι!

Προφανώς το άρθρο το έδωσα ως ερέθισμα - δεν το υιοθέτησα - για να ξεκινήσει η συνομιλία πάνω σε αυτόν τον προβληματισμό!

Είδα και αρκετά βίντεο στο youtube αλλά σε κανένα δε δίνεται απόδειξη ή δίνεται προσεγγιστική απόδειξη με τριγωνομετρία!

Ο προβληματισμός μου είναι παράλληλος και θα ήθελα την άποψη σας πάνω σε αυτό!

Από τη μία αποδεικνύουμε ότι η κατασκευή συγκεκριμένων γωνιών με κανόνα και διαβήτη δεν επιτυγχάνεται, από την άλλη όμως τις δεχόμαστε

σε ασκήσεις και λύνουμε την άσκηση με καθαρά ευκλείδεια γεωμετρία! Η Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να δεχτεί μέσα στη θεωρία της

και άλλους τρόπους κατασκευής με άλλα γεωμετρικά όργανα;

Ευχαριστώ!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4919
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Οκτ 11, 2016 12:00 pm

Καλημέρα σε όλους. Είχα σταματήσει να διαβάζω το κείμενο μόλις έφτασα στο σημείο:

Angle Trisection is still considered impossible...

Η τριχότομηση (τυχαίας, εννοεί) γωνίας είναι ΑΚΟΜΗ (!!) αδύνατη... (Σα να λέγαμε: Η ελπίδα πεθαίνει τελευταία...).


Όμως, μετά το διάλογο που ακολούθησε, θυμήθηκα ένα παρόμοιο ερώτημα, το οποίο έψαξα και εντόπισα ΕΔΩ.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 11, 2016 12:08 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλημέρα σε όλους. Είχα σταματήσει να διαβάζω το κείμενο μόλις έφτασα στο σημείο:

Angle Trisection is still considered impossible...

Η τριχότομηση (τυχαίας, εννοεί) γωνίας είναι ΑΚΟΜΗ (!!) αδύνατη... (Σα να λέγαμε: Η ελπίδα πεθαίνει τελευταία...).


Όμως, μετά το διάλογο που ακολούθησε, θυμήθηκα ένα παρόμοιο ερώτημα, το οποίο έψαξα και εντόπισα ΕΔΩ.
Ο προβληματισμός ουσιαστικό ησύχασε εκεί και ξύπνησε ξανά σήμερα με άλλα ερεθίσματα γιατί δεν έχει απαντηθεί ακόμα!

Δεν αμφισβητώ τίποτα από τη θεωρία της Ευκλείδειας γεωμετρίας!

Γιατί όμως δεν απορρίπτουμε αμέσως μία άσκηση διότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί το σχήμα με κανόνα και διαβήτη ;


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 11, 2016 12:14 pm

Απόδειξη ότι η συγκεκριμένη γωνία δεν είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη:

http://www.maa.org/sites/default/files/ ... p0432j.pdf


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 11, 2016 12:25 pm

Θεωρώ ότι οι Γενικοί Συντονιστές θα πρέπει να αλλάξουν
τον τίτλο της ανάρτησης.
Μας παρακολουθούν και μαθητές που αν δουν μόνο τον τίτλο
θα έχουν εσφαλμένη εντύπωση.

Συμπλήρωμα.
Βλέπω ότι άλλαξε ο τίτλος.Νομίζω ότι ό καινούργιος είναι εντάξει.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10736
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 11, 2016 12:47 pm

dimplak έγραψε: Γιατί όμως δεν απορρίπτουμε αμέσως μία άσκηση διότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί το σχήμα με κανόνα και διαβήτη ;
Πιστεύω ότι το θέμα είναι υποκειμενικό, οπότε θα αναφέρω την προσωπική μου άποψη, ανεξάρτητα αν είναι ή όχι αποδεκτή. Όλοι έχουμε κατά καιρούς ακούσει την έκφραση ποιητική αδεία. Αν ανατρέξουμε σε κάποιο λεξικό θα δούμε ότι αναφέρεται στην "ελευθερία που αναγνωρίζεται σε ένα ποιητή να αποκλίνει από τους συμβατικούς κανόνες της γλώσσας, προς όφελος του λογοτεχνικού αποτελέσματος".

Έτσι ακριβώς συμβαίνει και με αυτού του είδους τις ασκήσεις. Προσωπικά λοιπόν, θα δεχόμουν, γεωμετρική αδεία, μία τέτοια άσκηση ανεξάρτητα αν κατασκευάζεται ή όχι γεωμετρικά το σχήμα. Ίσως το όφελος από τη λύση είναι μεγαλύτερο από την κατασκευασιμότητα ή μη του σχήματος. Ας μην ξεχνάμε άλλωστε, ότι επειδή δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά μία γωνία 20^0, δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 11, 2016 1:07 pm

george visvikis έγραψε:
dimplak έγραψε: Γιατί όμως δεν απορρίπτουμε αμέσως μία άσκηση διότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί το σχήμα με κανόνα και διαβήτη ;
Πιστεύω ότι το θέμα είναι υποκειμενικό, οπότε θα αναφέρω την προσωπική μου άποψη, ανεξάρτητα αν είναι ή όχι αποδεκτή. Όλοι έχουμε κατά καιρούς ακούσει την έκφραση ποιητική αδεία. Αν ανατρέξουμε σε κάποιο λεξικό θα δούμε ότι αναφέρεται στην "ελευθερία που αναγνωρίζεται σε ένα ποιητή να αποκλίνει από τους συμβατικούς κανόνες της γλώσσας, προς όφελος του λογοτεχνικού αποτελέσματος".

Έτσι ακριβώς συμβαίνει και με αυτού του είδους τις ασκήσεις. Προσωπικά λοιπόν, θα δεχόμουν, γεωμετρική αδεία, μία τέτοια άσκηση ανεξάρτητα αν κατασκευάζεται ή όχι γεωμετρικά το σχήμα. Ίσως το όφελος από τη λύση είναι μεγαλύτερο από την κατασκευασιμότητα ή μη του σχήματος. Ας μην ξεχνάμε άλλωστε, ότι επειδή δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά μία γωνία 20^0, δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει.
κ. Βισβίκη,

Εκτιμώ την ειλικρίνειά σας!

Το έργο που προσφέρετε καθημερινά αφιλοκερδώς σε εμάς τους νεότερους είναι πηγή έμπνευσης και δύναμης! Η άποψή σας είναι αισιόδοξη στο

... υπαρξιακό αυτό γεωμετρικό δίλημμά μου!

Ευχαριστώ!


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8677
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών με κανόνα και διαβήτη

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Οκτ 11, 2016 4:31 pm

george visvikis έγραψε:Ας μην ξεχνάμε άλλωστε, ότι επειδή δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε γεωμετρικά μία γωνία 20^0, δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει.
Σωστά.

Να προσθέσω ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές (*), με την μαθηματική έννοια του όρου, δηλαδή θεωρούν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αφηρημένες έννοιες που υπάρχουν κάπου εκεί έξω ανεξάρτητα από εμάς. Π.χ. ακόμη και αν χρησιμοποιήσουμε διαβήτη μπορεί να μην κατασκευάσουμε έναν «τέλειο κύκλο». Αυτό όμως δεν μας αποτρέπει να αποδεικνύουμε αποτελέσματα για αυτόν τον τέλειο κύκλο (που υπάρχει κάπου εκεί έξω) και όχι για τον δικό μας ίσως κακοσχεδιασμένο κύκλο.

(*) Όταν όμως μας πιέσουν να εξηγήσουμε τι είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο, από Πλατωνιστές γινόμαστε φορμαλιστές και δίνουμε ορισμούς όπως αυτόν εδώ.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 11, 2016 5:59 pm

Προσωπικά, νιώθω πολύ ταπεινός γεωμέτρης κάθε φορά που δημοσιεύω κάτι εδώ ή βλέπω μία κομψή λύση σε μία άσκηση και κάθε φορά μαθαίνω από

τους γενναιόδωρους συναδέλφους. Έτσι νιώθω ότι δεν μπορώ να δω τόσο φιλοσοφικά το θέμα της κατασκευής στη γεωμετρία και απλά θα το

περιορίσω διδακτικά. Εννοώ ότι αν βάζουμε ένα πρόβλημα γεωμετρίας να τονίζουμε αν ζητάμε καθαρά ευκλείδεια λύση και αν η κατασκευή του

σχήματος είναι εφικτή με κανόνα και διαβήτη. Άραγε γιατί η κατασκευή του σχήματος έχει εκλείψει τελείως ή δε ζητείται ή γίνεται πρόχειρα στον

πίνακα της τάξης πλέον χωρίς γεωμετρικά όργανα ; Φανερά , μέσα στην τάξη , η διαδικασία της κατασκευής έχει περιοριστεί στο απόλυτα αναγκαίο

για την εποπτική αντίληψη και όλα έχουν μετατραπεί σε μία πνευματική άσκηση και πράξεις. Εδώ στο φόρουμ όλα τα σχήματα γίνονται πλέον και

είναι υποχρεωτικό πλέον να γίνονται στο geogebra! Το geogebra ανάλογα με τις ικανότητες hardware του υπολογιστή και της οθόνης του χρήστη

σκέφτεται ως μηχανικός και όχι ως γεωμέτρης λειτουργώντας με αλγόριθμους προσέγγισης στα γραφικά! Σε μία μελλοντική τάξη λοιπόν, ο κανόνας

και ο διαβήτης θα είναι μόνο ... πνευματικοί κανόνες - όροι του παιχνιδιού και δε θα χρειάζεται να λερώσεις τα χέρια σου! Πλέον έχουμε φτάσει

στο σημείο να πειραματιζόμαστε στο geogebra και να ανακαλύπτουμε σταθερά σημεία και σχέσεις και μετά να ζητάμε ευκλείδεια απόδειξη!

Διδακτικά , λοιπόν, έχοντας υπόψιν τα περίφημο βιβλίο του Μαυρίκιου Μπρίκα Τα περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας αλλά και

το http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED058058.pdf , θα έμπαινα στη τάξη κάθε φορά με όλα τα όπλα του γεωμέτρη , όχι μόνο με τον κανόνα και

το διαβήτη , και αν ήθελα να βάλω μία άσκηση τέτοια, θα εντυπωσίαζα τους μαθητές με έναν τέλειο μηχανικό τριχοτομητή αλλά με κιμωλία! ;)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 11, 2016 7:31 pm

Σχεδόν άσχετο αλλά διασκεδάστε επισκεπτόμενοι την ανάρτηση αυτή


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Μέθοδοι κατασκευής γωνίας 20 μοιρών

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 11, 2016 7:43 pm

KARKAR έγραψε:Σχεδόν άσχετο αλλά διασκεδάστε επισκεπτόμενοι την ανάρτηση αυτή
:coolspeak:

Δε φοβάμαι τίποτα πλέον! Τριχοτομώ τα πάντα!

https://sites.google.com/site/mathschal ... pantograph


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες