Χαρακτηρισμός ορθόκεντρου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Χαρακτηρισμός ορθόκεντρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 07, 2016 8:09 pm

Με αφορμή αυτό
viewtopic.php?f=181&t=55868

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ύψος του AD

Αν P σημείο του ύψους ώστε

\angle PBA=\angle PCA

τότε το P είναι ορθόκεντρο του τριγώνου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Χαρακτηρισμός ορθόκεντρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Οκτ 07, 2016 9:20 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Με αφορμή αυτό
viewtopic.php?f=181&t=55868

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ύψος του AD

Αν P σημείο του ύψους ώστε

\angle PBA=\angle PCA

τότε το P είναι ορθόκεντρο του τριγώνου.
Καλησπέρα κύριε Σταύρο!
χαρακτηρισμός ορθοκέντρου.png
χαρακτηρισμός ορθοκέντρου.png (31.77 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Αν K το συμμετρικό του B ως προς το ύψος AD.

Προφανώς \widehat{PCA}=\widehat{PBA}=\widehat{PKA}, άρα το APKC είναι εγγράψιμο.

Άρα, \widehat{BAD}=\widehat{DAK}=\widehat{DCK}, δηλαδή \widehat{DCK}=\widehat{DAB}=90-\hat{B}, συνεπώς \hat{B}+\widehat{DCP}=90 \Leftrightarrow PC \perp AB, από όπου το ζητούμενο γίνεται φανερό.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Χαρακτηρισμός ορθόκεντρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 07, 2016 10:43 pm

Γεια σου Ορέστη.
Πολύ ωραία η λύση σου.Καλύτερη από την δική μου που θα γράψω παρά κάτω.
Εχεις ένα τυπογραφικό στην προτελευταία σχέση.Αντί \angle DCK θέλεις να γράψεις \angle DCP
Η δική μου λύση.

\frac{(APB)}{(APC)}=\frac{BD}{CD}

Αλλά λόγω ισότητας γωνιών \frac{(APB)}{(APC)}=\frac{AB.PB}{AC.PC}

Αρα \frac{PB}{PC}=\frac{BD.AC}{DC.AB}

Το ορθόκεντρο έχει αυτή την ιδιότητα οπότε επειδή ο Απολλώνιος κύκλος έχει με το ύψος
ένα κοινό σημείο το P είναι ορθόκεντρο


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4009
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Χαρακτηρισμός ορθόκεντρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Οκτ 07, 2016 11:45 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Με αφορμή αυτό
viewtopic.php?f=181&t=55868

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ύψος του AD.Αν P σημείο του ύψους ώστε \angle PBA=\angle PCA τότε το P είναι ορθόκεντρο του τριγώνου.
Καλησπέρα στου "μικρούς" και μεγαλύτερους φίλους.
Ας δούμε και μια πιο μπελαλίδικη λύση (με άτοπο) αφού ο Ορέστης έγραψε την "πριγκιπέσα"

Προφανώς το ορθόκεντρο P\equiv AD\cap BF\cap CZ έχει την ιδιότητα \angle PBA=\angle PCA από την εγγραψιμότητα σε κύκλο του τετραπλεύρου BZFC\left( \angle BZC=\angle BFC={{90}^{0}} \right) .

Έστω ότι υπάρχει και άλλο σημείο {P}'\equiv P,{P}'\in AD ώστε \angle {P}'BA=\angle {P}'CA\Rightarrow BC{F}'{Z}' εγγράψιμο σε κύκλο με {F}'\equiv B{P}'\cap AC,{Z}'\equiv C{P}'\cap AB . Τότε από τα εγγράψιμα τετράπλευρα

BCFZ,BC{F}'{Z}'\Rightarrow \ldots \angle FB{F}'=\angle ZC{Z}'\Rightarrow BCLK εγγράψιμο σε κύκλο ( \angle LBK=\angle LCK διαφορά (ή άθροισμα) ίσων γωνιών) , με K\equiv B{P}'\cap CZ,L\equiv C{Z}'\cap BF
[attachment=0]χαρακτηρισμός ορθοκέντρου..png[/attachment]
Τα πλήρη τετράπλευρα {P}'KPLBC,AZPFBC,A{Z}'{P}'{F}'BC έχουν κοινή διαγώνιο την BC και τις διαγώνιές τους {P}'P,AP,A{P}' στο φορέα του ύψους AD του \vartriangle ABC οπότε οι άλλες διαγώνιές τους

KL,ZF,{Z}'{F}' θα διέρχονται από το ίδιο σημείο E ως το συζυγές αρμονικό του D ω προς τα B,C (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο).

Όμως \angle F'KL\mathop  = \limits^{K,L,C,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle LCB \equiv \angle Z'CB \mathop  = \limits^{Z',B,C,F'\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle Z'F'B \Rightarrow KL\parallel Z'F' πράγμα άτοπο αφού KL\cap {F}'{Z}'=E\in BC

και συνεπώς το ορθόκεντρο είναι το Pμοναδικό σημείο με την ιδιότητα \angle PBA=\angle PCA.


Στάθης
Συνημμένα
χαρακτηρισμός ορθοκέντρου..png
χαρακτηρισμός ορθοκέντρου..png (33.99 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης