Απορία!

[Ορέστης Λιγνός]

Θα παρακαλούσα τα ''μεγάλα παιδιά'' και σκαπανείς της γεωμετρίας, να μου λύσουν την εξής απορία.

Αν σε ένα τρίγωνο για τις πλευρές του ισχύει ότι , υπάρχει σχέση που να συνδέει τις γωνίες του τριγώνου (όχι τριγωνομετρική) ;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Καλημέρα Ορέστη.
Αφού οι ειδικοί δεν απαντούν θα σου απαντήσω.
Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία(έκλεψα) βγάζω ότι
1)
2)Η ελάχιστη τιμή για το είναι
(αν δεν έχω κάνει καμμία πατάτα στις πράξεις)
Δυστυχώς δεν προλαβαίνω να τα αναλύσω.
Συμπλήρωμα.

Απο νόμο ημιτόνων έχουμε

Αλλά

Θα έχουμε οτι αν

Θα δείξουμε ότι η μέγιστη τιμή της γωνίας είναι μοίρες,

Αν θέσουμε το θεώρημα του συνημιτόνου δίνει

όπου

Μελετώντας την συνάρτηση βρίσκουμε οτι η ελάχιστη τιμή του

είναι

Αρα η μέγιστη τιμή της γωνίας είναι μοίρες,

Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι βγαίνουν με καθαρή Γεωμετρία.

[KARKAR]

Σχέση γωνιών.png (10.62 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

Ορέστη ασφαλώς θα γνωρίζεις ότι δεδομένης της πλευράς και με , η κορυφή

κινείται πάνω στον Απολλώνιο κύκλο διαμέτρου . Συνεπώς οι παραγόμενες σχέσεις μπορούν

να χαρακτηριστούν "εφήμερες" ( όχι σταθερές ) . Βέβαια η διαπίστωση του κ. Παπαδόπουλου ισχύει ,

υποθέτω όμως , ότι ευχόσουν να ίσχυε κάτι μεγαλοπρεπέστερο . Παρηγορήσου , πάντως , με το ότι

αν , τότε υπάρχει σχέση μεταξύ των πλευρών ( βλέπε εδώ )

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Νομίζω ότι έχω γεωμετρική απόδειξη.
Συγκεκριμένα.
Εστω τρίγωνο

ώστε

Ισχύουν

1)Η μέγιστη τιμή της είναι

2)

Θεωρώ ότι πρέπει να αφήσουμε τον Ορέστη να κάνει την απόδειξη.

[Ορέστης Λιγνός]

Καλημέρα σε όλους!

Ευχαριστώ τον κύριο Σταύρο και τον κύριο Θανάση για τις πολύτιμες παρατηρήσεις τους!