Πυθαγόρειο

#1

Κάνοντας "περιπολία" χτες σε γνωστό site, έπεσα πάνω σ' αυτή την άσκηση που μου φάνηκε ενδιαφέρουσα.

: Πυθαγόρειο.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Χρησιμοποιώντας την διάταξη του σχήματος (To

είαι κέντρο του κύκλου και το

εφαπτόμενο τμήμα) να αποδείξετε το Πυθαγόρειο θεώρημα (Απαγορεύεται οτιδήποτε έχει έμμεση σχέση με το Πυθαγόρειο).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

sakis1963 · #2

Γιώργο χαιρετώ !

Εχω την εντύπωση ότι ζητούν την Mamikon's Proof of the Pythagorean Theorem
που την βρίσκουμε και εδώ
και εδώ
και εδώ με Geogebra
και σχετίζεται και με το πρόσφατο θέμα Γεωμετρία ή Φυσική

Φιλικά Σάκης

#3

sakis1963 έγραψε:Γιώργο χαιρετώ !

Εχω την εντύπωση ότι ζητούν την Mamikon's Proof of the Pythagorean Theorem
που την βρίσκουμε και εδώ
και εδώ
και εδώ με Geogebra
και σχετίζεται και με το πρόσφατο θέμα Γεωμετρία ή Φυσική

Φιλικά Σάκης

Γεια σου Σάκη!

Πιθανόν να είναι αυτό που λες. Η λύση μου πάντως, δεν έχει σχέση με αυτό.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα!

george visvikis έγραψε: Τρί Απρ 05, 2016 9:54 am Κάνοντας "περιπολία" χτες σε γνωστό site, έπεσα πάνω σ' αυτή την άσκηση που μου φάνηκε ενδιαφέρουσα.

12-11 Απόδειξη Πυθαγορείου.png (141.86 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Χρησιμοποιώντας την διάταξη του σχήματος (To είαι κέντρο του κύκλου και το εφαπτόμενο τμήμα) να αποδείξετε το Πυθαγόρειο θεώρημα (Απαγορεύεται οτιδήποτε έχει έμμεση σχέση με το Πυθαγόρειο).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έδωσα μία λύση (ανάμεσα σε άλλες που απορρίφθηκαν), αλλά θεωρήθηκε από το forum άκυρη (δικαίως), επειδή χρησιμοποίησα τον τύπο της εφαπτομένης διπλάσιας γωνίας του οποίου η απόδειξη απαιτεί χρήση του Πυθαγορείου (ή της απόστασης σημείων). Απορρίφθηκαν επίσης, όπως είναι φυσικό, όσες λύσεις χρησιμοποιούσαν δύναμη σημείου. Τέλος, έδωσα μία άλλη λύση που μου φαίνεται έγκυρη (δεν απορρίφθηκε ακόμα ) και την οποία θα παραθέσω στο τέλος στην κρίση σας. Προς το παρόν αφήνω το ερώτημα στη διάθεσή σας.

Ας διατηρήσω Γιώργο διπλή ελπίδα: Από τη μια η απόδειξη Πυθαγορείου που βρήκα

να θεωρείται έγκυρη (δεν βλέπω χρήση αυτού που ζητάμε ή έμμεση σχέση )

και από την άλλη να είναι διαφορετική απ' αυτή που έχεις κατα νού...

Στο σχήμα με τους συμβολισμούς του , τα τρίγωνα AEC

και

είναι όμοια με την $\widehat{A}$ κοινή και $\widehat{AEC}=90^o +\theta =\widehat{ACZ}$ .

Έχουμε λοιπόν $\dfrac{x}{b}=\dfrac{b}{x+2a}\Leftrightarrow x^2 +2ax=b^2$ . Τότε $AB^{2}=\left (a+x\right )^{2}=a^{2}+x^{2}+2ax=a^{2}+b^{2}=BC^{2}+CA^{2}$

δηλ. το συμπέρασμα του Πυθαγορείου Θεωρήματος!

Φιλικά, Γιώργος.

#5

Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την κάλυψη αυτού του θέματος. Η λύση μου δεν είναι ίδια αλλά στο ίδιο μήκος κύματος με ομοιότητα τριγώνων.

Έστω

η διχοτόμος του τριγώνου και CD=x,

οπότε $\boxed{x = \frac{{ab}}{{a + c}}}$ (1)

: Πυθαγόρειο.β.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές

Τα τρίγωνα BCA, EDA

είναι όμοια, άρα $\dfrac{x}{a} = \dfrac{{c - a}}{b}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{c^2=a^2+b^2}$

Πυθαγόρειο

Πυθαγόρειο

Re: Πυθαγόρειο

Re: Πυθαγόρειο

Re: Πυθαγόρειο

Re: Πυθαγόρειο

Μέλη σε σύνδεση