Εφαπτόμενα και τεμνόμενα ζεύγη κύκλων

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1216
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Εφαπτόμενα και τεμνόμενα ζεύγη κύκλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Απρ 04, 2016 11:28 pm

Έστω κύκλος κέντρου O και AB μία χορδή του.

Θεωρούμε:

1) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η AB και μεταξύ τους.
2) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η AB και τέμνονται μεταξύ τους.

τότε:

1) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής όλων των δυνατών ζευγών εφαπτόμενων κύκλων.
2) να δείξετε ότι η ευθεία που ορίζουν τα σημεία τομής όλων των ζευγών τεμνόμενων κύκλων διέρχονται από το μέσο του τόξου AB.

zeugh_kuklwn.png
zeugh_kuklwn.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τετ Σεπ 28, 2016 9:59 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Apostolos Manoloudis
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τρί Δεκ 11, 2012 10:16 am

Re: Εφαπτόμενα και τεμνόμενα ζεύγη κύκλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apostolos Manoloudis » Σάβ Σεπ 24, 2016 9:06 pm

APOSTOLIS 189.ggb
(26.45 KiB) Μεταφορτώθηκε 60 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εφαπτόμενα και τεμνόμενα ζεύγη κύκλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Σεπ 25, 2016 12:22 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω κύκλος κέντρου O και AB μία χορδή του.

Θεωρούμε:

1) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η AB και μεταξύ τους.
2) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η AB και τέμνονται μεταξύ τους.

τότε:

1) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής όλων των δυνατών ζευγών εφαπτόμενων κύκλων.
2) να δείξετε ότι η ευθεία που ορίζουν τα σημεία τομής όλων των ζευγών τεμνόμενων κύκλων διέρχονται από το μέσο του τόξου AB.


zeugh_kuklwn.png
Αντιστρέφουμε με κέντρο το L και ακτίνα R=LA=LB.

Η ευθεία AB αντιστρέφεται στον κύκλο (O), και ο κύκλος (O) αντιστρέφεται στην ευθεία AB.

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι όλοι οι κύκλοι που εφάπτονται στην ευθεία AB και στον κύκλο (O) αντιστρέφονται στον εαυτό τους. Επομένως

α) το ένα σημείο τομής τους (αν έχουν σημεία τομής) αντιστρέφεται στο άλλο σημείο τομής τους, και,
β) το τυχόν σημείο επαφής τους αντιστρέφεται στον εαυτό του.

Από το β) ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επαφής όλων των δυνατών ζευγών εφαπτόμενων κύκλων είναι το κυρτό τόξο (κυρτό, ως προς το σχήμα μας) AB του κύκλου αντιστροφής (L, LA)

Από το α) η ευθεία που ορίζουν τα σημεία τομής όλων των ζευγών τεμνόμενων κύκλων διέρχονται από το κέντρο αντιστροφής που είναι το μέσο L του τόξου (μη κυρτό, ως προς το σχήμα μας) AB.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης