ΣΗΜΕΙΑ ΚΥΚΛΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ ενός κύκλου (Ο,R). Έστω Η η προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ. Έστω Μ,Ν οι προβολές των σημείων Β,Γ αντίστοιχα πάνω στη διάμετρο ΑΑ'. Αποδείξτε ότι το ΑΗ είναι μέσο ανάλογο των ΑΜ και ΑΝ.

Η άσκηση αυτή πάρθηκε από το βιβλίο "ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ" του Σ. Κανέλλου.Έχω βρει δύο λύσεις. Τη μία τη βρήκα ως μαθητής της Β' Λυκείου , την άλλη ως επαγγελματίας μαθηματικός χρόνια αργότερα.

#2

Μία λύση
Δεν φτιάνω σχήμα
Φέρνουμε την ΒΑ΄και την ΓΑ΄,οπότε τα τρίγωνα ΑΒΑ΄και ΑΓΑ΄είναι ορθογώνια με ύψη τα ΒΜ και ΓΝ αντίστοιχα
Άρα $AB^2 = AM\cdot AA'$ και $A\Gamma ^2 = AN\cdot AA'$
δηλαδή $\frac{AB^2}{A\Gamma ^2}= \frac{AM}{AN}$ (1)
Τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΑΝΓ είναι όμοια άρα $\frac{AB}{A\Gamma } = \frac{AH}{AN}$ και άρα $\frac{AH^2}{AN^2} = \frac{AM}{AN}$
οπότε $AH^2 = AN\cdot AM$ .

Χρήστος

Α.Κυριακόπουλος · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ ενός κύκλου (Ο,R). Έστω Η η προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ. Έστω Μ,Ν οι προβολές των σημείων Β,Γ αντίστοιχα πάνω στη διάμετρο ΑΑ'. Αποδείξτε ότι το ΑΗ είναι μέσο ανάλογο των ΑΜ και ΑΝ.

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ.

: Σχήμα.PNG (3.66 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Τα τρίγωνα ΑΗΜ και ΑΝΗ είναι όμοια ( δείχνουμε εύκολα ότι $\displaystyle{\widehat{{\rm A}{\rm H}{\rm M}} = \widehat{{\rm A}{\rm N}{\rm H}}}$ ). Έτσι έχουμε:
$\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm H}}}{{{\rm A}{\rm M}}} = \frac{{{\rm A}{\rm N}}}{{{\rm A}{\rm H}}} \Rightarrow {\rm A}{{\rm H}^2} = {\rm A}{\rm M} \cdot {\rm A}{\rm N}}$

ΣΗΜΕΙΑ ΚΥΚΛΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

ΣΗΜΕΙΑ ΚΥΚΛΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Re: ΣΗΜΕΙΑ ΚΥΚΛΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Re: ΣΗΜΕΙΑ ΚΥΚΛΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Μέλη σε σύνδεση