Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Σεπ 24, 2014 9:35 pm

Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
Συνημμένα
Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png
Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (7.06 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Σεπ 25, 2014 6:39 am

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma.
Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα 1:
Ευθεία από σταθερό σημείο 1.PNG
Ευθεία από σταθερό σημείο 1.PNG (26.48 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές
Στο σχήμα αυτό εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι
\displaystyle{\hat{E_1}=\hat{P_1}\  \ (1)}
διότι οι γωνίες αυτές έχουν τις πλευρές των αντίστοιχα κάθετες και είναι οξείες.

Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων \displaystyle{PDE, PD'E'} προκύπτει ότι:
\displaystyle{\hat{E_1}=\hat{D'_1}\  \ (2)}
ως απέναντι ίσων πλευρών.

Από τις (1) και (2) προκύπτει:
\displaystyle{\hat{P_1}=\hat{D'_1}\  \ (3)}
Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{PD'E'} το σημείοι \displaystyle{M} είναι μέσον της υποτείνουσας
(Σύστημα Vecten στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{PDE})

Προεκτείνοντας τη διάμεσο \displaystyle{PM} κατά ίσο τμήμα τότε προκύπτει το τετράπλευρο \displaystyle{PD'A'E'} το οποίο είναι ορθογώνιο
και συνεπώς η προέκταση της \displaystyle{PZ} διέρχεται από το σημείο \displaystyle{A'} που είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου \displaystyle{A} και
το οποίο ασφαλώς είναι σταθερό. (Σχήμα 2)
Ευθεία από σταθερό σημείο 2.PNG
Ευθεία από σταθερό σημείο 2.PNG (36.14 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές
Κώστας Δόρτσιος


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Σεπ 25, 2014 11:02 am

Καλημέρα ,ευχαριστώ το κ.Δόρτσιο για τη λύση του θέματος .Υπάρχει και λύση με Αναλυτική Γεωμετρία .

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8082
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 25, 2014 11:37 am

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
Γιάννη και Κώστα, Καλημέρα.

Έστω \displaystyle{\Sigma } το συμμετρικό του A ως προς το μέσο M της B\Gamma. Το \displaystyle{\Sigma } είναι προφανώς σταθερό. Αρκεί να δείξω ότι η PZ διέρχεται από αυτό το σημείο.


\displaystyle{\begin{array}{l} 
{\rm Z}\widehat {\rm P}\Sigma  = {\widehat {\rm P}_1} + {\rm A}\widehat {\rm P}\Sigma  = {\widehat {\rm P}_1} + {180^0} - 2{\widehat {\rm A}_1} = {180^0} + {90^0} - {\widehat {\rm H}_1} - 2{\widehat {\rm A}_1} = \\ 
{270^0} - ({180^0} - 2{\rm H}\widehat {\rm A}{\rm E}) - 2{\widehat {\rm A}_1} = {90^0} + 2({45^0} + {\widehat {\rm A}_1}) - 2{\widehat {\rm A}_1} = {180^0} 
\end{array}}

Άρα τα σημεία Z, P,\Sigma είναι συνευθειακά που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 756 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Σεπ 25, 2014 11:50 am

Καλημέρα Γιώργο ,ωραία λύση και αξιοποίηση της συμμετρίας στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Σεπ 25, 2014 12:34 pm

Και η απόδειξη με αναλυτική γεωμετρία:

Τοποθετούμε το τρίγωνο σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Είναι φανερό ότι η εξίσωση της \displaystyle{BC} είναι \displaystyle{x+y=1.} Τότε, είναι

\displaystyle{E(p,0),~D(0,1-p).}

Άρα \displaystyle{\lambda _{DE}=\frac{p-1}{p}\implies \lambda _{PZ}=\frac{p}{1-p}} και τελικά βρίσκουμε ότι

\displaystyle{PZ:y=\frac{p}{1-p}x+\frac{1-2p}{1-p}.}

Είναι φανερό ότι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο \displaystyle{(1,1).}
Συνημμένα
stathero shmeio.png
stathero shmeio.png (22.05 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές


Μάγκος Θάνος
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Σεπ 25, 2014 12:58 pm

Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο P κινείται στην ευθεία B\Gamma και οχι στην πλευρά B\Gamma με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2025
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Σεπ 25, 2014 7:15 pm

Μία άλλη σκέψη είναι η εξής :

\bullet Θεωρούμε το τρίγωνο \vartriangle ADE και το εκφυλισμένο σε ευθεία τρίγωνο \vartriangle PBC και παρατηρούμε ότι οι εκ των κορυφών A,\ D,\ E του \vartriangle ADE κάθετες ευθείες επί των πλευρών BC,\ PB,\ PC του \vartriangle PBC αντιστοίχως, ως οι μεσοκάθετες ευθείες τους, τέμνονται στο ίδιο σημείο σε άπειρη απόσταση.

Άρα, τα ως άνω τρίγωνα είναι ορθολογικά και επομένως, οι εκ των κορυφών P,\ B,\ C του \vartriangle PBC κάθετες ευθείες επί των πλευρών DE,\ AE,\ AD αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Συμπεραίνεται έτσι, ότι η μεταβλητή ευθεία PZ\perp DE περνάει από το σταθερό σημείο έστω S των δια των B,\ C παραλλήλων ευθειών προς τις AC,\ AB αντιστοίχως, το οποίο ταυτίζεται με το σημμετρικό σημείο του A ως προς την ευθεία BC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Σεπ 25, 2014 7:41 pm

Kαλησπέρα κ. Βήττα και ευχαριστώ για αυτή την ωραία λύση που δεν είχα υπόψη μου.....
Ωστόσο να διευκρινίσω ότι η λύση με τα ορθολογικά τρίγωνα δεν θα προχωρήση όταν το τρίγωνο που δόθηκε είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές .....Ακόμη πήρα μια νέα ιδέα για την περίπτωση που το σημείο P είναι στην ευθεία B\Gamma και όχι στην πλευρά B\Gamma .

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 25, 2014 9:05 pm

STOPJOHN έγραψε:Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο P κινείται στην ευθεία B\Gamma και οχι στην πλευρά B\Gamma με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;

Γιάννης
Καλησπέρα σε όλους.

Η πρόταση ισχύει και στην περίπτωση που το μεταβλητό σημείο κινείται εν γένει στην ευθεία της υποτείνουσας του ορθογωνίου και ισοσκελούς τρίγωνου .

Αργότερα θα γράψω σχετικά και για τις δύο περιπτώσεις.

Όμως αν το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές έχω την άποψη ότι δεν ισχύει .

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6498
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 25, 2014 10:08 pm

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
Καλησπέρα σε όλους . Μετά τις τόσο ωραίες παρεμβάσεις που διάβασα μια ακόμη άποψη .

Πρώτα θα ζητήσω συγνώμη για το συμβολισμό με λατινικούς χαρακτήρες γιατί έχω πρόβλημα στο λογισμικό που χρησιμοποιώ με τα ελληνικά.
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό  σημείο.png
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (33.18 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές
Έστω λοιπόν τυχαίο σημείο P στην ευθεία BC διαφορετικό από τα B,C φέρνουμε τις προβολές του D,E στις ευθείες AB,AC και αγνοούμε προσωρινά την προβολή του P στην DE ( δηλαδή το Z) .

Γράφουμε τον κύκλο του ορθογωνίου AEPD που τέμνει τον κύκλο ({C_1}) του ABC και στο T.

Ο κύκλος αυτό θα έχει κέντρο το K σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου AEPD, ενώ ό ({C_1}) έχει κέντρο το μέσον O του BC .

Επειδή η γωνία A\widehat OP = {90^0} και το σημείο O θα ανήκει στον κύκλο του ορθογωνίου AEPD.

Προφανές ότι τα τρίγωνα AOB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DPB είναι ισοσκελή ορθογώνια και έτσι \widehat \theta  = D\widehat PB = {45^0} με άμεση συνέπεια OE = OD .

Τώρα όμως AT//ED και έτσι η διάκεντρος KO που είναι κάθετος στην κοινή χορδή AT θα είναι κάθετος και στην DE.

Επίσης η PT που είναι κάθετη στην AT( αφού η AP διάμετρος) θα είναι κάθετη και στην DE στο J που προφανώς θα ταυτίζεται με το Z .

Έστω τώρα S το σταθερό αντιδιαμετρικό του A στον κύκλο ({C_1}) .

Επειδή A\widehat TS = {90^0} τα σημεία A,T,S ανήκουν στην ίδια ευθεία και συνεπώς η PT δηλαδή η PJ διέρχεται από το S.

Στην περίπτωση που το P βρίσκεται ανάμεσα στα B,C η απόδειξη είναι ή ιδια.

Φιλικά Νίκος


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Σεπ 25, 2014 10:32 pm

Ευχαριστώ Νίκο για την εύστοχη παρέμβαση και τη λύση όταν το σημείο P κινείται στην ευθεία B\Gamma
Πιστεύω ότι η άσκηση δεν ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές ...θα το δω ....

φιλικά

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8082
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 25, 2014 10:53 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Πράγματι η συνθήκη είναι το τρίγωνο να είναι ισοσκελές. Δεν είναι απαραίτητο να είναι ορθογώνιο. Η ευθεία διέρχεται πάντα από την τέταρτη κορυφή του ρόμβου με τρεις κορυφές τα A, B, \Gamma.
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο-2.png
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο-2.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Μάιος 15, 2019 1:06 am

Καλημέρα σε όλους. Μου άρεσε το παρόν θέμα.
Μια απόδειξη στην τελευταία πρόταση του Γιώργου , όπου το ABC είναι (μόνο) ισοσκελές.
Μεταβλητή ευθεία...PNG
Μεταβλητή ευθεία...PNG (12.62 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Το A' είναι το συμμετρικό του A ως προς την BC και Q η τομή των ED,CB. Αρκεί η ευθεία A'PZ να είναι κάθετη στην EDQ.

Εύκολα βρίσκουμε όπως ΕΔΩ ότι \widehat{EQC}=\widehat{PAM}=\widehat{PA'M} . Τότε \widehat{OZA'}=\pi -\varphi -x=\widehat{OMQ}=90^{0}

Φιλικά , Γιώργος.


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 482
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Πέμ Μάιος 16, 2019 10:46 pm

STOPJOHN έγραψε:
Τετ Σεπ 24, 2014 9:35 pm
Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
draw1.png
draw1.png (35.26 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
..καλησπέρα..
μια τοποθέτηση στην αρχική εκφώνηση.

Έστω H\equiv DE\cap AM\,\,\,\wedge \,\,\,F\equiv AM\cap ZP. Έστω επίσης \widehat{DAP}=\varphi \,\,\,\wedge \,\,\,\widehat{PAM}=\chi. Έστω AM διάμεσος-διχοτόμος και υψος στο \displaystyle\bigtriangleup ABC\Rightarrow \varphi +\chi =45^{\circ}.

Τα σημεία A,D,P,M,E είναι ομοκυκλικά αφού \widehat{AMP}=\widehat{ADP}=\widehat{AEP}=90^{\circ}. Ταυτόχρονα στο ορθόγώνιο παραλληλόγραμμο ADPE\Rightarrow \widehat{PAD}=\widehat{ADE}=\varphi.

Έτσι η \widehat{DHF}=45^{\circ}+\varphi(ως εξωτερική γωνία), με αποτέλεσμα στο ορθογώνιο \bigtriangleup ZHF\Rightarrow \widehat{PFA}=\chi \Rightarrow PF=PA\,\,\,\wedge \,\,\,PM\perp AF\Rightarrow AM=MF.

Δηλαδή η ZP περνάει από το σταθερό σημείο F που είναι το συμμετρικό του σταθερού σημειου A με άξονα συμμετρίας την σταθερή ευθεία BC.-


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες