Σελίδα 1 από 1

Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 24, 2014 9:35 pm
από STOPJOHN
Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 6:39 am
από KDORTSI
STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma.
Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα 1:
Ευθεία από σταθερό σημείο 1.PNG
Ευθεία από σταθερό σημείο 1.PNG (26.48 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές
Στο σχήμα αυτό εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι
\displaystyle{\hat{E_1}=\hat{P_1}\  \ (1)}
διότι οι γωνίες αυτές έχουν τις πλευρές των αντίστοιχα κάθετες και είναι οξείες.

Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων \displaystyle{PDE, PD'E'} προκύπτει ότι:
\displaystyle{\hat{E_1}=\hat{D'_1}\  \ (2)}
ως απέναντι ίσων πλευρών.

Από τις (1) και (2) προκύπτει:
\displaystyle{\hat{P_1}=\hat{D'_1}\  \ (3)}
Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{PD'E'} το σημείοι \displaystyle{M} είναι μέσον της υποτείνουσας
(Σύστημα Vecten στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{PDE})

Προεκτείνοντας τη διάμεσο \displaystyle{PM} κατά ίσο τμήμα τότε προκύπτει το τετράπλευρο \displaystyle{PD'A'E'} το οποίο είναι ορθογώνιο
και συνεπώς η προέκταση της \displaystyle{PZ} διέρχεται από το σημείο \displaystyle{A'} που είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου \displaystyle{A} και
το οποίο ασφαλώς είναι σταθερό. (Σχήμα 2)
Ευθεία από σταθερό σημείο 2.PNG
Ευθεία από σταθερό σημείο 2.PNG (36.14 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές
Κώστας Δόρτσιος

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 11:02 am
από STOPJOHN
Καλημέρα ,ευχαριστώ το κ.Δόρτσιο για τη λύση του θέματος .Υπάρχει και λύση με Αναλυτική Γεωμετρία .

Γιάννης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 11:37 am
από george visvikis
STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
Γιάννη και Κώστα, Καλημέρα.

Έστω \displaystyle{\Sigma } το συμμετρικό του A ως προς το μέσο M της B\Gamma. Το \displaystyle{\Sigma } είναι προφανώς σταθερό. Αρκεί να δείξω ότι η PZ διέρχεται από αυτό το σημείο.


\displaystyle{\begin{array}{l} 
{\rm Z}\widehat {\rm P}\Sigma  = {\widehat {\rm P}_1} + {\rm A}\widehat {\rm P}\Sigma  = {\widehat {\rm P}_1} + {180^0} - 2{\widehat {\rm A}_1} = {180^0} + {90^0} - {\widehat {\rm H}_1} - 2{\widehat {\rm A}_1} = \\ 
{270^0} - ({180^0} - 2{\rm H}\widehat {\rm A}{\rm E}) - 2{\widehat {\rm A}_1} = {90^0} + 2({45^0} + {\widehat {\rm A}_1}) - 2{\widehat {\rm A}_1} = {180^0} 
\end{array}}

Άρα τα σημεία Z, P,\Sigma είναι συνευθειακά που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 11:50 am
από STOPJOHN
Καλημέρα Γιώργο ,ωραία λύση και αξιοποίηση της συμμετρίας στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Γιάννης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 12:34 pm
από matha
Και η απόδειξη με αναλυτική γεωμετρία:

Τοποθετούμε το τρίγωνο σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Είναι φανερό ότι η εξίσωση της \displaystyle{BC} είναι \displaystyle{x+y=1.} Τότε, είναι

\displaystyle{E(p,0),~D(0,1-p).}

Άρα \displaystyle{\lambda _{DE}=\frac{p-1}{p}\implies \lambda _{PZ}=\frac{p}{1-p}} και τελικά βρίσκουμε ότι

\displaystyle{PZ:y=\frac{p}{1-p}x+\frac{1-2p}{1-p}.}

Είναι φανερό ότι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο \displaystyle{(1,1).}

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 12:58 pm
από STOPJOHN
Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο P κινείται στην ευθεία B\Gamma και οχι στην πλευρά B\Gamma με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;

Γιάννης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 7:15 pm
από vittasko
Μία άλλη σκέψη είναι η εξής :

\bullet Θεωρούμε το τρίγωνο \vartriangle ADE και το εκφυλισμένο σε ευθεία τρίγωνο \vartriangle PBC και παρατηρούμε ότι οι εκ των κορυφών A,\ D,\ E του \vartriangle ADE κάθετες ευθείες επί των πλευρών BC,\ PB,\ PC του \vartriangle PBC αντιστοίχως, ως οι μεσοκάθετες ευθείες τους, τέμνονται στο ίδιο σημείο σε άπειρη απόσταση.

Άρα, τα ως άνω τρίγωνα είναι ορθολογικά και επομένως, οι εκ των κορυφών P,\ B,\ C του \vartriangle PBC κάθετες ευθείες επί των πλευρών DE,\ AE,\ AD αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Συμπεραίνεται έτσι, ότι η μεταβλητή ευθεία PZ\perp DE περνάει από το σταθερό σημείο έστω S των δια των B,\ C παραλλήλων ευθειών προς τις AC,\ AB αντιστοίχως, το οποίο ταυτίζεται με το σημμετρικό σημείο του A ως προς την ευθεία BC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 7:41 pm
από STOPJOHN
Kαλησπέρα κ. Βήττα και ευχαριστώ για αυτή την ωραία λύση που δεν είχα υπόψη μου.....
Ωστόσο να διευκρινίσω ότι η λύση με τα ορθολογικά τρίγωνα δεν θα προχωρήση όταν το τρίγωνο που δόθηκε είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές .....Ακόμη πήρα μια νέα ιδέα για την περίπτωση που το σημείο P είναι στην ευθεία B\Gamma και όχι στην πλευρά B\Gamma .

Γιάννης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 9:05 pm
από Doloros
STOPJOHN έγραψε:Καλημέρα Θάνο και ευχαριστώ για την Αναλυτική λύση . Οι διαφορετικοί κλάδοι των Μαθηματικών είναι συγκοινωνούντα δοχεία
Ερευνώ την περίπτωση που το σημείο P κινείται στην ευθεία B\Gamma και οχι στην πλευρά B\Gamma με κάποιες οριακές περιπτώσεις ...θα δω τι θα βγεί.....;

Γιάννης
Καλησπέρα σε όλους.

Η πρόταση ισχύει και στην περίπτωση που το μεταβλητό σημείο κινείται εν γένει στην ευθεία της υποτείνουσας του ορθογωνίου και ισοσκελούς τρίγωνου .

Αργότερα θα γράψω σχετικά και για τις δύο περιπτώσεις.

Όμως αν το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές έχω την άποψη ότι δεν ισχύει .

Φιλικά Νίκος

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 10:08 pm
από Doloros
STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
Καλησπέρα σε όλους . Μετά τις τόσο ωραίες παρεμβάσεις που διάβασα μια ακόμη άποψη .

Πρώτα θα ζητήσω συγνώμη για το συμβολισμό με λατινικούς χαρακτήρες γιατί έχω πρόβλημα στο λογισμικό που χρησιμοποιώ με τα ελληνικά.
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό  σημείο.png
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο.png (33.18 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές
Έστω λοιπόν τυχαίο σημείο P στην ευθεία BC διαφορετικό από τα B,C φέρνουμε τις προβολές του D,E στις ευθείες AB,AC και αγνοούμε προσωρινά την προβολή του P στην DE ( δηλαδή το Z) .

Γράφουμε τον κύκλο του ορθογωνίου AEPD που τέμνει τον κύκλο ({C_1}) του ABC και στο T.

Ο κύκλος αυτό θα έχει κέντρο το K σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου AEPD, ενώ ό ({C_1}) έχει κέντρο το μέσον O του BC .

Επειδή η γωνία A\widehat OP = {90^0} και το σημείο O θα ανήκει στον κύκλο του ορθογωνίου AEPD.

Προφανές ότι τα τρίγωνα AOB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DPB είναι ισοσκελή ορθογώνια και έτσι \widehat \theta  = D\widehat PB = {45^0} με άμεση συνέπεια OE = OD .

Τώρα όμως AT//ED και έτσι η διάκεντρος KO που είναι κάθετος στην κοινή χορδή AT θα είναι κάθετος και στην DE.

Επίσης η PT που είναι κάθετη στην AT( αφού η AP διάμετρος) θα είναι κάθετη και στην DE στο J που προφανώς θα ταυτίζεται με το Z .

Έστω τώρα S το σταθερό αντιδιαμετρικό του A στον κύκλο ({C_1}) .

Επειδή A\widehat TS = {90^0} τα σημεία A,T,S ανήκουν στην ίδια ευθεία και συνεπώς η PT δηλαδή η PJ διέρχεται από το S.

Στην περίπτωση που το P βρίσκεται ανάμεσα στα B,C η απόδειξη είναι ή ιδια.

Φιλικά Νίκος

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 10:32 pm
από STOPJOHN
Ευχαριστώ Νίκο για την εύστοχη παρέμβαση και τη λύση όταν το σημείο P κινείται στην ευθεία B\Gamma
Πιστεύω ότι η άσκηση δεν ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και όχι ισοσκελές ...θα το δω ....

φιλικά

Γιάννης

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 25, 2014 10:53 pm
από george visvikis
Καλησπέρα σε όλους.

Πράγματι η συνθήκη είναι το τρίγωνο να είναι ισοσκελές. Δεν είναι απαραίτητο να είναι ορθογώνιο. Η ευθεία διέρχεται πάντα από την τέταρτη κορυφή του ρόμβου με τρεις κορυφές τα A, B, \Gamma.
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο-2.png
Μεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο-2.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 15, 2019 1:06 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα σε όλους. Μου άρεσε το παρόν θέμα.
Μια απόδειξη στην τελευταία πρόταση του Γιώργου , όπου το ABC είναι (μόνο) ισοσκελές.
Μεταβλητή ευθεία...PNG
Μεταβλητή ευθεία...PNG (12.62 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Το A' είναι το συμμετρικό του A ως προς την BC και Q η τομή των ED,CB. Αρκεί η ευθεία A'PZ να είναι κάθετη στην EDQ.

Εύκολα βρίσκουμε όπως ΕΔΩ ότι \widehat{EQC}=\widehat{PAM}=\widehat{PA'M} . Τότε \widehat{OZA'}=\pi -\varphi -x=\widehat{OMQ}=90^{0}

Φιλικά , Γιώργος.

Re: Mεταβλητή ευθεία και σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 16, 2019 10:46 pm
από thanasis.a
STOPJOHN έγραψε:
Τετ Σεπ 24, 2014 9:35 pm
Kαλησπέρα ,
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma (A=90^{0}) και τυχαίο σημείο P στη πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε : P\Delta \perp AB,PE\perp A\Gamma ,PZ\perp \Delta E
Nα αποδειχθεί ότι η μεταβλητή ευθεία PZ διέρχεται από σταθερό σημείο

Γιάννης
draw1.png
draw1.png (35.26 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
..καλησπέρα..
μια τοποθέτηση στην αρχική εκφώνηση.

Έστω H\equiv DE\cap AM\,\,\,\wedge \,\,\,F\equiv AM\cap ZP. Έστω επίσης \widehat{DAP}=\varphi \,\,\,\wedge \,\,\,\widehat{PAM}=\chi. Έστω AM διάμεσος-διχοτόμος και υψος στο \displaystyle\bigtriangleup ABC\Rightarrow \varphi +\chi =45^{\circ}.

Τα σημεία A,D,P,M,E είναι ομοκυκλικά αφού \widehat{AMP}=\widehat{ADP}=\widehat{AEP}=90^{\circ}. Ταυτόχρονα στο ορθόγώνιο παραλληλόγραμμο ADPE\Rightarrow \widehat{PAD}=\widehat{ADE}=\varphi.

Έτσι η \widehat{DHF}=45^{\circ}+\varphi(ως εξωτερική γωνία), με αποτέλεσμα στο ορθογώνιο \bigtriangleup ZHF\Rightarrow \widehat{PFA}=\chi \Rightarrow PF=PA\,\,\,\wedge \,\,\,PM\perp AF\Rightarrow AM=MF.

Δηλαδή η ZP περνάει από το σταθερό σημείο F που είναι το συμμετρικό του σταθερού σημειου A με άξονα συμμετρίας την σταθερή ευθεία BC.-