- Ισόπλευρο σε ημικύκλιο.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές
Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Δίνεται ημικύκλιο κέντρου , διαμέτρου και μία χορδή του τέτοια ώστε, αν οι τέμνονται στο σημείο , η να διέρχεται από το μέσο της . Αν η κάθετη στην στο σημείο τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία και , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Γιώργο καλησπέρα!. Το 24ωρο πέρασεgeorge visvikis έγραψε: Δίνεται ημικύκλιο κέντρου , διαμέτρου και μία χορδή του τέτοια ώστε, αν οι τέμνονται στο σημείο , η να διέρχεται από το μέσο της . Αν η κάθετη στην στο σημείο τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία και , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Ας είναι τα σημεία τομής της εκ του παραλλήλου προς την με τις αντίστοιχα. Τότε με το μέσο της και θα είναι και
μέσα των αντίστοιχα και με τα ίχνη (λόγω του ημικυκλίου ) των υψών αντίστοιχα του τριγώνου προκύπτει ότι
τα σημεία είναι σημεία του κύκλου Euler του τριγώνου .
Από τη κεντρική δέσμη το μέσο της παραλληλόγραμμο
(οι διαγώνιές του διχοτομούνται)
[attachment=0]1.png[/attachment]
Είναι εγγράψιμο
και επειδή είναι παραλληλόγραμμο θα είναι (ως εγγράψιμο) ορθογώνιο παραλληλόγραμμο οπότε θα έχει ίσες διαγώνιες, δηλαδή
ισόπλευρο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί
Στάθης
- Συνημμένα
-
- 1.png (36.32 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Καλησπέρα Στάθη.
Ωραίος και ακριβής όπως πάντα
Ας δούμε κι ένα άλλο ερώτημα, που ήταν και η αρχική ιδέα της κατασκευής της άσκησης:
Να υπολογιστεί το άθροισμα , συναρτήσει της ακτίνας του ημικυκλίου.
Ωραίος και ακριβής όπως πάντα
Ας δούμε κι ένα άλλο ερώτημα, που ήταν και η αρχική ιδέα της κατασκευής της άσκησης:
Να υπολογιστεί το άθροισμα , συναρτήσει της ακτίνας του ημικυκλίου.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Από το 1ο Θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο έχουμε:george visvikis έγραψε: ...Να υπολογιστεί το άθροισμα , συναρτήσει της ακτίνας του ημικυκλίου.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Στο τρίγωνο με τα ως τυχόντα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως, σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1,
έχουμε λόγω . Με τα ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από το ημικύκλιο με διάμετρο σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2,
έχουμε
Από
Από και
Από συμπεραίνεται ότι το ισοσκελές τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόνυα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον του και
ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τα σημεία τομής των πλευρών του αντιστοίχως, από το ημικύκλιο με διάμετρο και έστω το σημείο όπου είναι το μέσον του Αποδείξτε ότι
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω τπόψη μου για τα παραπάνω Λήμματα.
έχουμε λόγω . Με τα ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από το ημικύκλιο με διάμετρο σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2,
έχουμε
Από
Από και
Από συμπεραίνεται ότι το ισοσκελές τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόνυα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον του και
ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τα σημεία τομής των πλευρών του αντιστοίχως, από το ημικύκλιο με διάμετρο και έστω το σημείο όπου είναι το μέσον του Αποδείξτε ότι
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις αποδείξεις που έχω τπόψη μου για τα παραπάνω Λήμματα.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Παρ Ιούλ 11, 2014 9:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Δια των σημείων φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς την οι οποίες τέμνουν την ευθεία στα σημεία αντιστοίχως.vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόνυα σημεία επί των πλευρών του αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου είναι το μέσον του και
Από
Ομοίως, από
Από
Στο τραπέζιο ισχύει
Από και το Λήμμα 1 έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Νομίζω ότι το Λήμμα 1 έχει ξανασυζητηθεί στο , αλλά άντε ψάξε βρες το.
(14-12-2014) - Τελικά, το έχουμε ξαναδεί Εδώ, ως την ειδική περίπτωση όταν η ευθεία περνάει από το βαρύκεντρο του δοσμένου τριγώνου.
Κώστας Βήττας.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Δευ Ιούλ 14, 2014 12:14 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Έστω το σημείο ως το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου και έστω το σημείο και προφανώς ισχύειvittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τα σημεία τομής των πλευρών του αντιστοίχως, από το ημικύκλιο με διάμετρο και έστω το σημείο όπου είναι το μέσον του Αποδείξτε ότι
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από Ομοίως, από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα
Από
Από
Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα έχουμε και
Από λόγω
Από και και το Λήμμα 2 έχει αποδειχθεί.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ.
Συνδυάζοντας τα Λήμματα 1, 2, παίρνουμε όπου και οι πλευρές του δοσμένου τριγώνου
Κώστας Βήττας.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ισόπλευρο σε ημικύκλιο
Καλό βράδυ σε όλους!
Το ώστε να ισχύει . Τα και και η τέμνει την στο
Να δειχθεί ότι
Μεταφέροντας τη μέθοδο επίλυσης του Γιώργου από το θέμα τούτο , φέρω όπως στο σχήμα:
Έχουμε και Με πρόσθεση παίρνουμε
.
Για έχουμε το ως άνω Λήμμα 1. Φιλικά, Γιώργος.
Ας δείξουμε μια ελαφρά γενίκευση του λήμματος αυτού.
Το ώστε να ισχύει . Τα και και η τέμνει την στο
Να δειχθεί ότι
Μεταφέροντας τη μέθοδο επίλυσης του Γιώργου από το θέμα τούτο , φέρω όπως στο σχήμα:
Έχουμε και Με πρόσθεση παίρνουμε
.
Για έχουμε το ως άνω Λήμμα 1. Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες