Σελίδα 1 από 1

Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 03, 2014 8:48 pm
από KARKAR
Εφαπτομένη  και προέκταση  διαμέτρου.png
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 03, 2014 9:28 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Καλησπέρα και Καλή Σαρακοστή.
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές
● Έστω \displaystyle{t < \frac{d}{2}}
Από δύναμη του σημείου S έχουμε:

\displaystyle{S{P^2} = SB \cdot SA = x(x + d) \Leftrightarrow } \boxed{S{P^2} = {x^2} + dx} (1)

Από Π.Θ στο PTS: \displaystyle{S{P^2} = T{S^2} + P{T^2} \Leftrightarrow } \boxed{S{P^2} = {(t + x)^2} + P{T^2}} (2)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο PAB με ύψος PT: \displaystyle{P{T^2} = AT \cdot TB \Leftrightarrow } \boxed{P{T^2} = t(d - t)} (3)

Από (1), (2), (3) παίρνουμε:

\displaystyle{{x^2} + dx = {t^2} + 2tx + {x^2} + td - {t^2} \Leftrightarrow (d - 2t)x = td \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{{td}}{{d - 2t}}}

● Αν \displaystyle{t = \frac{d}{2}} το πρόβλημα δεν έχει λύση γιατί η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη διάμετρο.

● Αν \displaystyle{t > \frac{d}{2}}, τότε η εφαπτομένη τέμνει την προέκταση της διαμέτρου προς το μέρος του A και είναι

\boxed{x = \frac{{td}}{{2t - d}}}

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 03, 2014 9:35 pm
από parmenides51
KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Εφαπτομένη  και προέκταση  διαμέτρου.png
Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές
Από Θ. Τεμνουσών \displaystyle{PS^2=PA\cdot PB= x(x+d)}
από Πυθ. Θεωρημα \displaystyle{PS^2=ST^2+PT^2=(x+t)^2+PT^2}
από μετρικές σχέσεις ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle{PT^2=TA \cdot TB=t(d-t)}
συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουμε :
\displaystyle{t(d-t)+(x+t)^2= x(x+d) \Leftrightarrow td-t^2+x^2+2xt+t^2=x^2+dx \Leftrightarrow td=x(d-2t) \Leftrightarrow x=\frac{dt}{d-2t}}

Υ.Γ. το αφήνω για τον κόπο, δεν πέρασε από το μυαλό μου η διερεύνηση :wallbash:

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 03, 2014 10:32 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
KARKAR έγραψε:Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Προφανώς η ευθεία PT είναι η πολική του S ως προς τον κύκλο άρα η τετράδα \left( {B,A,T,S} \right) είναι αρμονική (αν t < \dfrac{d}{2}) οπότε: \ldots x = \dfrac{{td}}{{d - 2t}} ή

η τετράδα \left( {A,B,T,S} \right) είναι αρμονική (αν t > \dfrac{d}{2}) οπότε: \ldots x = \dfrac{{td}}{{2t - d}} και προφανώς το S είναι το επ' άπειρον σημείο αν t = \dfrac{d}{2} οπότε x \to \infty.


Στάθης

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 03, 2014 10:55 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου AB=d ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο T , ώστε BT=t και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα TP . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο P , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο S . Υπολογίστε το τμήμα BS=x .
Εφαπτομένη σε ημικύκλιο.png
Εφαπτομένη σε ημικύκλιο.png (35.32 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές
Επειδή \widehat \theta  = \widehat {A\,}( Υπό χορδής κι εφαπτομένης ) και \widehat \phi  = \widehat {A\,} ( κάθετες πλευρές) θα έχουμε \boxed{\widehat \theta  = \widehat {\phi \,}} . Άρα η SP εφάπτεται και του κύκλου (B,t) , έστω στο σημείο D. Ας είναι b = 2R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R > t ( Όπως το

θέλει ο KARKAR) . Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων POS\,\kappa \alpha \iota \,DBS θα έχουμε :

\dfrac{{SB}}{{SO}} = \dfrac{{BD}}{{OP}} \Rightarrow xR = (x + R)t \Rightarrow x = \dfrac{{Rt}}{{R - t}} \Rightarrow x = \dfrac{{2Rt}}{{2R - 2t}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{bt}}{{b - 2t}}} .

Φιλικά Νίκος