Ιδιαιτερότητες σημείου Miquel

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Ιδιαιτερότητες σημείου Miquel

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Νοέμ 07, 2013 11:14 pm

Με αφορμή αυτό ας δούμε το γενικευμένο πρόβλημα με κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες σημείου Miquel που νομίζω έχει ξανασυζητηθεί.
Ιδιαιτερότητες σημείου Miquel.png
Ιδιαιτερότητες σημείου Miquel.png (53.14 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές
Έστω τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο O (κέντρου O) και έστω P \equiv AB \cap DC,Q \equiv AB \cap BC. Να δειχθεί ότι:

i) Το σημείο Miquel (έστω M) του πλήρους τετραπλεύρου ABCDPQ ανήκει στην ευθεία της διαγωνίου του PQ και ισχύει OM \bot PQ.

ii) Τα σημεία O,B,M,D είναι ομοκυκλικά

iii) Η ευθεία OM διέρχεται από το σημείο τομής των άλλων δύο διαγωνίων BD,AC (έστω S) του πλήρους τετραπλεύρου ABCDPQ.

iv) Τα σημεία A,O,C,M είναι ομοκυκλικά.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1765
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ιδιαιτερότητες σημείου Miquel

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Νοέμ 14, 2013 5:28 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Με αφορμή αυτό ας δούμε το γενικευμένο πρόβλημα με κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες σημείου Miquel που νομίζω έχει ξανασυζητηθεί.
Το συνημμένο Ιδιαιτερότητες σημείου Miquel.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο O (κέντρου O) και έστω P \equiv AB \cap DC,Q \equiv AB \cap BC. Να δειχθεί ότι:

i) Το σημείο Miquel (έστω M) του πλήρους τετραπλεύρου ABCDPQ ανήκει στην ευθεία της διαγωνίου του PQ και ισχύει OM \bot PQ.

ii) Τα σημεία O,B,M,D είναι ομοκυκλικά

iii) Η ευθεία OM διέρχεται από το σημείο τομής των άλλων δύο διαγωνίων BD,AC (έστω S) του πλήρους τετραπλεύρου ABCDPQ.

iv) Τα σημεία A,O,C,M είναι ομοκυκλικά.


Στάθης

1.\displaystyle{\left( C \right)} ο περίκυκλος του \displaystyle{ABCD} και ας είναι \displaystyle{M} η τομή του περίκυκλου του \displaystyle{\vartriangle BPM} με την \displaystyle{PQ} και \displaystyle{AO \cap \left( C \right) = Z,MC \cap \left( C \right) = T}
\displaystyle{QM \cdot QP = QC \cdot QB = QD \cdot QA \Rightarrow PMDA}εγγράψιμο άρα ο περίκυκλος του \displaystyle{\vartriangle PDA} περνά από το \displaystyle{M} κι αν \displaystyle{\angle BAD = y} ,θα είναι και \displaystyle{\angle DMQ = y}Αλλά και \displaystyle{\angle QCD = y}(\displaystyle{ABCD} εγγράψιμο) ,.άρα \displaystyle{MCDQ} εγγράψιμο οπότε ο περίκυκλος του \displaystyle{\vartriangle CDQ} περνά από το \displaystyle{M}
Τέλος,επειδή \displaystyle{\angle QCD = \angle PCB = \angle BMP = y = \angle QAB \Rightarrow ABMQ} εγγράψιμο οπότε ο περίκυκλος του \displaystyle{\vartriangle ABQ} περνά από το \displaystyle{M}.
Έτσι το \displaystyle{M} είναι το σημείο Miquel του \displaystyle{ABCDQ}
Ισχύει, \displaystyle{\angle CMD = \angle BQD = \angle BMA = x} άρα, \displaystyle{\angle PMA = \angle TMQ = x + y} κι έτσι, η \displaystyle{MQ} είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας \displaystyle{M} του \displaystyle{\vartriangle AMT}.
Αφού όμως και \displaystyle{\angle MTA = \angle \omega  = x + y \Rightarrow PQ//AT \Rightarrow \vartriangle MAT} ισοσκελές οπότε \displaystyle{MA = MT} κι αφού \displaystyle{OA = OT \Rightarrow MO} μεσοκάθετος της \displaystyle{AT} άρα και \displaystyle{OM \bot PQ}
2.Είναι, \displaystyle{\angle BOD = 2\angle DAB = 2y}(σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης )Αλλά \displaystyle{\angle PMB + \angle DMQ + \angle BMD = 2y + \angle BMD = {180^0} \Rightarrow \angle BOD + \angle BMD = {180^0} \Rightarrow OBMD}εγγράψιμο
4. \displaystyle{AZ} διάμετρος του \displaystyle{(C)} ,οπότε \displaystyle{\angle \omega  + \angle ZAC = {90^0}} .Αλλά και \displaystyle{\angle \omega  + \angle OMC = {90^0}}(ερώτημα 1) άρα \displaystyle{\angle ZAC = \angle OMC \Rightarrow AOCM} εγγράψιμο
3.οι \displaystyle{AC,BD,OM} είναι οι ριζικοί άξονες των περίκυκλων των τετραπλεύρων \displaystyle{ABCD,AOCM,BMDO} κι έτσι θα συντρέχουν οπότε \displaystyle{O,M,S} συνευθειακά
Συνημμένα
miquel.png
miquel.png (86.22 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες