mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 1:26 pm**

: Χωρίς S.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle AEE'$ , η E'M

είναι διάμεσος και το

τυχαίο σημείο της βάσης EE'

.

Η

τέμνει την E'A

στο σημείο

, ενώ η

τέμνει την AE'

στο σημείο

.

1) Δείξτε ότι : LN //AE

2) Εξηγήστε γιατί δεν χρησιμοποιήθηκε στο σχήμα το γράμμα

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 2:05 pm**

KARKAR έγραψε:
Χωρίς S.png
Στο τρίγωνο $\displaystyle AEE'$ , η είναι διάμεσος και το τυχαίο σημείο της βάσης .

Η τέμνει την στο σημείο , ενώ η τέμνει την στο σημείο .

1) Δείξτε ότι : 2) Εξηγήστε γιατί δεν χρησιμοποιήθηκε στο σχήμα το γράμμα

Stathis

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 2:57 pm**

Εικάζω για να μην επέμβει Ο Στάθης και δώσει λύση και ίσως –ίσως επειδή δεν υπάρχει και το γράμμα

, να λυθεί χωρίς την χρήση θεωρήματος Geva

που με αυτό λύνεται άμεσα .
Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 7:03 pm**

KARKAR έγραψε: Στο τρίγωνο $\displaystyle AEE'$ , η είναι διάμεσος και το τυχαίο σημείο της βάσης . Η τέμνει την στο σημείο , ενώ η τέμνει την στο σημείο .
1) Δείξτε ότι : 2) Εξηγήστε γιατί δεν χρησιμοποιήθηκε στο σχήμα το γράμμα

Για να μην πάει "χαμένη" η άσκηση (αφού δεν έχει ακόμα απαντηθεί) και θέλοντας να αποφύγω το που λύνει άμεσα το πρόβλημα (όπως αναφέρει και ο Νίκος πιο πάνω) γιατί μου στερεί το δικαίωμα να χρησιμοποιήσω άλλο γράμμα (το π.χ ) θα το δούμε "αρμονικά".

: 1.png (20.88 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Έστω $S \equiv E'M \cap NL$ . Τότε από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά $\left( {E',O,S,M} \right)$ είναι αρμονική άρα και η δέσμη είναι αρμονική και

για την ευθεία που τέμνει τις ακτίνες της δέσμης στα σημεία αντίστοιχα, ώστε: το μέσο της θα ισχύει: $NL\parallel AE$

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Stathis

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 7:42 pm**

Δια των $A,\ E,$ φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς την ME'

οι οποίες τέμνουν έστω τις ευθείες $EL,\ AN,$ στα σημεία $P,\ Q$ αντιστοίχως και έχουμε $AP\parallel= 2MO\parallel= EQ\ \ \ ,(1)$ λόγω AM = ME

.

Από $AP\parallel OE',$ σύμφωνα με το θεώρημα Θαλή, ισχύει $\displaystyle \frac{AP}{OE'} = \frac{AL}{LE'}\ \ \ ,(2)$

Ομοίως, από $EQ\parallel OE'$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{EQ}{OE'} = \frac{EN}{NE'}\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{AL}{LE'} = \frac{EN}{NE'}$ $\Longrightarrow$ $LN\parallel AE$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 8:23 pm**

: Χωρίς S.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Αξιοποιώ τον MENE'LAO

, στο τρίγωνο E'AM

με διατέμνουσα την LOE

και παίρνω :

$\displaystyle\frac{E'L}{LA}\cdot\frac{AE}{EM}\cdot\frac{MO}{OE'}=1\Rightarrow \frac{E'L}{LA}=\frac{OE'}{2MO}$ . Ομοίως από το E'ME

παίρνω : $\displaystyle\frac{E'N}{NE}=\frac{OE'}{2MO}$ .

Υποθέτω ότι οι αξιότιμοι λύτες απαξίωσαν σκοπίμως το δεύτερο ερώτημα . Η άσκηση δεν "χώραγε" άλλο γράμμα

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 8:46 pm**

Σύμφωνα με το θεώρημα του $\displaystyle{Geva}$ παρόλο που ζητήθηκε να μην χρησιμοποιηθεί παίρνω ισοδύναμα
$\displaystyle{\begin{gathered} \left( {\frac{{AM}}{{ME}}} \right)\left( {\frac{{EN}}{{NE'}}} \right)\left( {\frac{{LE'}}{{LA}}} \right) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{EN}}{{NE'}} = \frac{{LA}}{{LE'}} \hfill \\ \end{gathered} }$ που είναι το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή .Άρα $\displaystyle{LN//AE}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 21, 2013 6:52 am**

manosk97 έγραψε:Σύμφωνα με το θεώρημα του $\displaystyle{Geva}$ παρόλο που ζητήθηκε να μην χρησιμοποιηθεί ...

Το Θεώρημα Ceva λέγεται, το Geva είναι λογοπαίγνιο της παρέας του

για το ταλέντο Grigoris K.

mathematica.gr

Χωρίς S

Χωρίς S

Re: Χωρίς S

Re: Χωρίς S

Re: Χωρίς S

Re: Χωρίς S

Re: Χωρίς S

Re: Χωρίς S

Re: Χωρίς S