mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 09, 2012 12:35 pm**

Δίνεται τρίγωνο ABC

.Δείξτε ότι $IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}$ , όπου

το έγκεντρο του τριγώνου αυτού.

Η άσκηση βρέθηκε στο βιβλίο ''ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ'' του Αλέκου Σκορδά , που εκδόθηκε στην Αθήνα το 1976 , στη σελίδα 192.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 09, 2012 12:44 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Δίνεται τρίγωνο .Δείξτε ότι $IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}$ , όπου το έγκεντρο του τριγώνου αυτού.

Η άσκηση βρέθηκε στο βιβλίο ''ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ'' του Αλέκου Σκορδά , που εκδόθηκε στην Αθήνα το 1976 , στη σελίδα 192.

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{IA=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}},IB=\frac{r}{\sin \frac{B}{2}},IC=\frac{r}{\sin \frac{C}{2}}.}$ (εύκολη απόδειξη, ορισμός ημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνο).

Άρα

$\displaystyle{IA\cdot IB\cdot IC=\frac{r^3}{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}.$

Αν γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\frac{r}{4R},}$ τελειώσαμε.

Αυτό είναι άμεσο από τη σχέση $\displaystyle{\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}},}$ την οποία έχουμε δει πολλές φορές εδώ στο

Π.χ. $\displaystyle{\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}=\sqrt{\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{4bc}}=...=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 09, 2012 1:02 pm**

Ωραία Θάνο!! Μια άλλη λύση , καθαρά γεωμετρική , είναι η εξής:Με εφαρμογή του θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ABD

, όπου

το ίχνος της διχοτόμου της $\hat{A}$ επί της πλευράς

, προκύπτει ότι $IA=\sqrt{\frac{bc\left(s-a \right)}{s}}$ , αν ληφθεί υπ΄ όψιν ότι $AD=\sqrt{\frac{4bcs\left(s-a \right)}{\left(b+c \right)^{2}}}$ . Όμοια αποδεικνύω ότι $IB=\sqrt{\frac{ac\left(s-b \right)}{s}} , IC=\sqrt{\frac{ab\left(s-c \right)}{s}}$ . Tα υπόλοιπα είναι ζήτημα πράξεων και τύπων όπως οι $E=\frac{abc}{4R}$ και
$\left(s-a \right)\left(s-b \right)\left(s-c \right)=sr^{2}$

mathematica.gr

ΣΚΟΡΔΑΣ άσκηση 153

ΣΚΟΡΔΑΣ άσκηση 153

Re: ΣΚΟΡΔΑΣ άσκηση 153

Re: ΣΚΟΡΔΑΣ άσκηση 153