Σαν Πυθαγόρειο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9720
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σαν Πυθαγόρειο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 05, 2012 11:40 pm

Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C} , ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Συνημμένα
Σαν Πυθαγόρειο.png
Σαν Πυθαγόρειο.png (7.46 KiB) Προβλήθηκε 2129 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3780
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιαν 06, 2012 12:22 am

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C} , ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
1.png
1.png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 2103 φορές
Έστω \displaystyle{ 
AD 
} η διχοτόμος της \displaystyle{ 
\widehat{BAC} 
} τότε:


\displaystyle{ 
\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle ADB \sim \vartriangle ABC \\  
  AD = DC \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AD}} 
{{AC}} = \frac{{AB}} 
{{BC}} \\  
  AD = DC \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \frac{{DC}} 
{{AC}} = \frac{{AB}} 
{{BC}}\mathop  \Rightarrow \limits^{DC = \frac{{a \cdot b}} 
{{b + c}},AC = B,AB = c,BC = a} \frac{{\frac{{a \cdot b}} 
{{b + c}}}} 
{b} = \frac{c} 
{a} \Rightarrow \frac{a} 
{{b + c}} = \frac{c} 
{a} \Rightarrow \boxed{a^2  = c^2  + bc} 
}

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10176
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 06, 2012 3:09 am

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C} , ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;

Αλλιώς: Από τον νόμο των ημιτόνων είναι a = 2R \sin (2\phi), b= 2R \sin (3 \phi), c= 2R \sin (\phi), οπότε αναγώμαστε στη απόδειξη της \sin ^2 (2\phi) = \sin^2 (\phi) + \sin (\phi) \sin (3\phi). Όμως αυτή ισχύει καθώς

\sin^2 (\phi) + \sin (\phi) \sin (3\phi ) =  \sin (\phi) \left( \sin (\phi) + \sin (3\phi )\right)=

= 2 \sin (\phi)\left( \sin (2\phi) \cos (\phi )\right)= \left(2 \sin (\phi)  \cos (\phi )\right) \sin (2\phi)= \sin ^2 (2\phi).

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9720
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 06, 2012 9:38 am

Σαν "Θεώρημα" , του αξίζει μια ακόμα λύση , έστω λιγότερο κομψή ...

Φέρω τη διχοτόμο AD και με χρήση του Θ. διχοτόμου , συμπληρώνω το σχήμα .

Είναι a^2=b^2+c^2-2bc\sigma \upsilon \nu 2\phi ( από Ν. συνημιτόνων )

Όμοια έχω : \displaystyle c^2=\left(\frac{ab}{b+c} \right)^2+\left(\frac{ac}{b+c} \right)^2-2\left(\frac{a^2bc }{b+c}\right)^2\sigma \upsilon \nu 2\phi

\displaystyle \Rightarrow c^2=\left(\frac{a}{b+c} \right)^2\left(b^2+c^2-2bc\sigma \upsilon \nu 2\phi\right)=\frac{a^4}{(b+c)^2}

συνεπώς : a^4=c^2(b+c)^2\Rightarrow a^2= c^2+bc
Συνημμένα
Σαν Πυθαγόρειο.png
Σαν Πυθαγόρειο.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 2058 φορές


GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Παρ Ιαν 06, 2012 10:38 am

Στην προέκταση της AB προς το A Θεωρώ σημείο D ώστε AD=AC=b Τότε \hat{BDC}=\hat{\varphi },\hat{DCB}=2\hat{\varphi }
Οπότε
\Delta (BDC))\sim\Delta (BAC)
και επομένως


\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{b+c}{a} =\frac{a}{c}\Rightarrow a^2=c^2+bc


Γ. Μανεάδης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9720
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 06, 2012 11:08 am

Σχήμα για τη έξοχη λύση του Gmans
Συνημμένα
Σαν Πυθαγόρειο.png
Σαν Πυθαγόρειο.png (11.82 KiB) Προβλήθηκε 2030 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4042
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 06, 2012 11:14 am

KARKAR έγραψε:Σαν "Θεώρημα" , του αξίζει μια ακόμα λύση , έστω λιγότερο κομψή ...

Ο Νόμος Συνημιτόνων είναι: λιγότερος κομψός; :roll: Τι ακούν τ' αυτιά μου ... :(

Ας δώσω μια παραλλαγή (ελπίζω) πιο ΚΟΜΨΗ! :lol:
06-01-2012 Γεωμετρία.jpg
06-01-2012 Γεωμετρία.jpg (12.1 KiB) Προβλήθηκε 2027 φορές
Είναι \displaystyle 
\left( {ABC} \right) = \frac{{b \cdot c \cdot \eta \mu 2\phi }}{2} = \frac{{b \cdot a \cdot \eta \mu \phi }}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \phi  = \frac{a}{{2c}}

Από Ν. Συνημιτόνων:

\displaystyle 
c^2  = a^2  + b^2  - 2ab \cdot \sigma \upsilon \nu \phi  \Leftrightarrow c^2  = a^2  + b^2  - \frac{{a^2  \cdot b}}{c} \Leftrightarrow c^2  - b^2  = a^2 \left( {1 - \frac{b}{c}} \right)
\displaystyle 
\begin{array}{l} 
  \\  
  \Leftrightarrow \left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right) = a^2 \left( {\frac{{c - b}}{c}} \right)\;\;\;\left( 1 \right) \\  
 \end{array}

Αν \displaystyle 
c = b, τότε

\displaystyle 
\widehat B = \widehat C = \phi  \Rightarrow 4\phi  = 180^\circ  \Rightarrow \widehat{\rm A} = 90^\circ  \Rightarrow a^2  = b^2  + c^2  \Rightarrow a^2  = c^2  + bc

Αν \displaystyle 
c \ne b τότε \displaystyle 
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {c + b} \right) = \frac{{a^2 }}{c} \Leftrightarrow a^2  = c^2  + bc


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1069
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Παρ Ιαν 06, 2012 12:00 pm

Παρά το πλήθος κομψών λύσεων που έχουν υποβληθεί, χάριν πληρότητας, υποβάλλω και τη δική μου.

Αν N,M είναι τα μέσα των AB, AC αντίστοιχα και D η προβολή του B στην AC, έχουμε \widehat{NDA}=\hat{A}=2\hat{C}=2\widehat{DMN}\Rightarrow\widehat{DMN}=\widehat{DNM}\Rightarrow DM=DN=\frac{AB}{2}=\frac{c}{2}.
Οπότε από το 2^o Θεώρημα διαμέσων, έχουμε: a^2-c^2=2bDM=bc.
Να παρατηρήσουμε, ότι όμοια αποδεικνύεται και το αντίστροφο: Αν \displaystyle{a^2-c^2=bc}, τότε \hat{A}=2\hat{C}
Συνημμένα
σαν πυθαγόρειο.png
σαν πυθαγόρειο.png (7.46 KiB) Προβλήθηκε 2012 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9720
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 08, 2012 1:23 pm

Πότε πρόλαβε αυτός ο Prasolov , και μας αντέγραψε ; :lol: :lol:

1.71.\; \;  Prove \;\;  that\; \;  if \; \widehat{BAC} = 2\widehat{ABC}, then \:\;  BC^2 = (AC + AB)AC.


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1040
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Δευ Ιαν 09, 2012 9:40 pm

Έστω D σημείο στην προέκταση της BA έτσι ώστε AD=AC=b.
Τότε \triangle DAC ισοσκελές \rightarrow  \angle D = ACD = BAC :2=ACB= \phi
δηλ \angle D=ACB  \rightarrow BC εφαπτομένη του κύκλου (DAC) \rightarrow  BA\cdot BD=BC^2
\rightarrow  c(c+b)=a^2
Συνημμένα
σαν πυθαγόρειο.png
σαν πυθαγόρειο.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 1919 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9720
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 09, 2012 10:31 pm

Η "ασχημότερη" λύση :\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{sin3\phi }{sin\phi }=\frac{3sin\phi -4sin^3\phi }{sin\phi }=3-4(1-cos^2\phi)=4cos^2\phi -1

και \displaystyle \frac{a}{c}=\frac{sin2\phi }{sin\phi }=2cos\phi , η οποία μετατρέπεται στην : \displaystyle \frac{a^2}{c^2}-1=4cos^2\phi -1 , οπότε :

\displaystyle \frac{a^2}{c^2}-1=\frac{b}{c}\Rightarrow a^2-c^2=bc\Rightarrow a^2=c^2+bc , ο.ε.δ.
Συνημμένα
Σαν Πυθαγόρειο.png
Σαν Πυθαγόρειο.png (11.82 KiB) Προβλήθηκε 1894 φορές


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1040
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Δευ Ιαν 09, 2012 11:31 pm

Μία μετρική λύση.

Έστω \angle A < 90^0.

Θεωρώ Sεπί της AC έτσι ώστε BA=BS.

Τότε ABS ,BSC ισοσκελή και επιπλέον το ύψος BT είναι και διάμεσος του ισοσκελούς τργ SBA.

Από επέκταση πυθαγορείου έχουμε:

a^2=b^2+c^2-2b \cdot AT=b^2+c^2-b \cdot AS=b(b-AS)+c^2=b \cdot SC+c^2=b \cdot c+c^2 οεδ

Αν \angle A=90^0 εξακολουθεί να ισχύει το ζητούμενο αφού b=c.

Αν \angle A>90^0 ισχύει το ζητούμενο (απόδειξη όπως η α περίπτωση)
Συνημμένα
σαν πυθαγόρειο 2.png
σαν πυθαγόρειο 2.png (5.94 KiB) Προβλήθηκε 1880 φορές


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιουν 09, 2013 2:36 pm

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Να παρατηρήσουμε, ότι όμοια αποδεικνύεται και το αντίστροφο: Αν \displaystyle{a^2-c^2=bc}, τότε \hat{A}=2\hat{C}
το ευθύ πάλι εδώ, το αντίστροφο εδώ


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 464
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Κυρ Ιουν 09, 2013 11:42 pm

..καλησπέρα.

και μια παραλλαγή μιας παραλλαγής

από ν. ημιτόνων έχουμε: \displaystyle\frac{\eta \mu \varphi }{c}=\frac{\eta\mu (2 \varphi )}{a}\Rightarrow ..\Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi =\frac{a}{2c} \,\,\,(1)

από ν. συνημιτόνων έχουμε: a^{2}+b^{2}-2ab\sigma \upsilon \nu \varphi =c^{2}\mathop\Rightarrow \limits^{(1)}...a^{2}(c-b)=c(c^{2}-b^{2})\Rightarrow a^{2}=c^{2}+bc


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 21, 2015 10:38 am

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C} , ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Σαν Πυθαγόρειο.png
Σαν Πυθαγόρειο.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 1379 φορές
Γράφουμε το ημικύκλιο κέντρου B και ακτίνας BC προς την πλευρά του A .

Η προέκταση του CA προς το Α τέμνει ακόμα το ημικύκλιο στο σημείο T . Προφανώς BC = BT \Leftrightarrow \widehat T = \widehat {C\,}\,\,(1) .

Η γωνία \widehat A = B\widehat AC = \widehat T + \widehat \theta ως εξωτερική στο τρίγωνο ABT, και εξ αιτίας της (1) θα ισχύει: \widehat A = \widehat C + \widehat {\theta \,}\,\,(2) .

Αλλά από την υπόθεση \widehat A = 2\widehat C\,\,(2) , οπότε και λόγω της (2) και της (1) έχουμε \widehat T = \widehat \theta  \Leftrightarrow \boxed{AB= AT = c}\,\,(3) .

Από τη δύναμη του σημείου A ως προς το ημικύκλιο έχουμε : AC \cdot AT = B{C^2} - A{B^2} και λόγω της (3) , bc = {a^2} - {c^2} \Leftrightarrow \boxed{{a^2} = {c^2} + bc} . ο. ε. δ.

Πάντα φιλικά Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Φεβ 21, 2015 12:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Σάβ Φεβ 21, 2015 12:28 pm

GEOMETRIA Σαν Πυθαγόρειο.png
GEOMETRIA Σαν Πυθαγόρειο.png (17.12 KiB) Προβλήθηκε 1345 φορές
Καλημέρα,
μια ακόμη λύση που πρέπει να μπεί συλλογή.
Γράφω κύκλο (B,c) και όλα λύνονται δια μαγείας
(a+c)(a-c)=bc \Rightarrow a^2=c^2+bc

Φιλικά, Σάκης


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6771
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 21, 2015 7:24 pm

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C} , ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Σαν Πυθαγόρειο.png
Σαν Πυθαγόρειο.png (6.65 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές
Φέρνω τη γωνία \displaystyle{B\widehat CE = \varphi } και έστω BE=x, οπότε AE=EC=c+x.
Η BC είναι διχοτόμος της B\widehat CE:
\displaystyle{{a^2} = AC \cdot CE - AB \cdot BE \Leftrightarrow {a^2} = b(c + x) - cx \Leftrightarrow } \boxed{{a^2} = bc + (b - c)x} (1)

Αλλά, \displaystyle{\frac{c}{x} = \frac{{AC}}{{CE}} = \frac{b}{{c + x}} \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{{{c^2}}}{{b - c}}} (2). Από (1),(2): \boxed{a^2=c^2+bc}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 15, 2018 12:18 am

Eυκαιρία με το ωραίο Θέμα-Θεώρημα που αναδύθηκε να πω καλημέρα σε τόσους φίλους !
Μια ακόμη παραλλαγή
KARKAR  Σαν Πυθαγόρειο!.PNG
KARKAR Σαν Πυθαγόρειο!.PNG (9.26 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές
Ο κύκλος (B, BA=c) τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου BC=a στο H και την AC=b στο E.

Έχουμε \widehat{EBC}=2\varphi -\varphi =\varphi άρα CE=BE=c

Στο ορθογώνιο BHC : CH^{2}= a^{2}-c^{2} ενώ και CH^{2}= CE\cdot CA =cb ως εφαπτόμενο.

Συνεπώς a^{2}-c^{2}= bc \Leftrightarrow \boxed {a^{2}=c^{2}+bc}.
Φιλικά Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 15, 2018 1:41 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 05, 2012 11:40 pm
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C} , ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;

Άλλη μια λύση

Η παράλληλη από το \displaystyle B στην \displaystyle AC τέμνει τη διχοτόμο της \displaystyle \angle A στο \displaystyle D

και προφανώς \displaystyle ABDC εγγράψιμο ισοσκελές τραπέζιο

Από Πτολεμαίο \displaystyle  \Rightarrow {\alpha ^2} = {c^2} + bc
σαν Πυθαγόρειο.png
σαν Πυθαγόρειο.png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1649
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σαν Πυθαγόρειο

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Απρ 16, 2018 10:36 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 05, 2012 11:40 pm
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C} , ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Προεκτείνω την AC κατά τμήμα AE=AB=c. Είναι AD=DC=\delta_{a}
Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο ABC,\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\Leftrightarrow \delta _{a}=\dfrac{ab}{b+c},(1)
Από τα όμοια τρίγωνα ABE,ADC,\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{\delta _{a}}\Leftrightarrow \delta _{a}=\dfrac{bc}{a},(2), (1),(2)\Rightarrow a^{2}=bc+c^{2}




Γιάννης
Συνημμένα
Σαν Πυθαγόρειο.png
Σαν Πυθαγόρειο.png (84.51 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες