Σελίδα 1 από 2
Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 05, 2012 11:40 pm
από KARKAR
Στο τρίγωνο
, όπου
, ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 06, 2012 12:22 am
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 06, 2012 3:09 am
από Mihalis_Lambrou
KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο
, όπου
, ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Αλλιώς: Από τον νόμο των ημιτόνων είναι
, οπότε αναγώμαστε στη απόδειξη της
. Όμως αυτή ισχύει καθώς
.
Φιλικά,
Μιχάλης
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 06, 2012 9:38 am
από KARKAR
Σαν "Θεώρημα" , του αξίζει μια ακόμα λύση , έστω λιγότερο κομψή ...
Φέρω τη διχοτόμο
και με χρήση του Θ. διχοτόμου , συμπληρώνω το σχήμα .
Είναι
( από Ν. συνημιτόνων )
Όμοια έχω :
συνεπώς :
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 06, 2012 10:38 am
από GMANS
Στην προέκταση της
προς το
Θεωρώ σημείο
ώστε
Τότε
Οπότε
και επομένως
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 06, 2012 11:08 am
από KARKAR
Σχήμα για τη έξοχη λύση του Gmans
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 06, 2012 11:14 am
από Γιώργος Ρίζος
KARKAR έγραψε:Σαν "Θεώρημα" , του αξίζει μια ακόμα λύση , έστω λιγότερο κομψή ...
Ο Νόμος Συνημιτόνων είναι:
λιγότερος κομψός; Τι ακούν τ' αυτιά μου ...
Ας δώσω μια παραλλαγή (ελπίζω) πιο ΚΟΜΨΗ!
- 06-01-2012 Γεωμετρία.jpg (12.1 KiB) Προβλήθηκε 3731 φορές
Είναι
Από Ν. Συνημιτόνων:
Αν
, τότε
Αν
τότε
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 06, 2012 12:00 pm
από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Παρά το πλήθος κομψών λύσεων που έχουν υποβληθεί, χάριν πληρότητας, υποβάλλω και τη δική μου.
Αν
είναι τα μέσα των
αντίστοιχα και
η προβολή του
στην
, έχουμε
.
Οπότε από το
Θεώρημα διαμέσων, έχουμε:
.
Να παρατηρήσουμε, ότι όμοια αποδεικνύεται και το αντίστροφο: Αν
, τότε
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 08, 2012 1:23 pm
από KARKAR
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2012 9:40 pm
από p_gianno
Έστω
σημείο στην προέκταση της
έτσι ώστε
.
Τότε
ισοσκελές
δηλ
εφαπτομένη του κύκλου
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2012 10:31 pm
από KARKAR
Η "ασχημότερη" λύση :
και
, η οποία μετατρέπεται στην :
, οπότε :
, ο.ε.δ.
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2012 11:31 pm
από p_gianno
Μία μετρική λύση.
Έστω
.
Θεωρώ
επί της
έτσι ώστε
.
Τότε
ισοσκελή και επιπλέον το ύψος
είναι και διάμεσος του ισοσκελούς τργ
.
Από επέκταση πυθαγορείου έχουμε:
οεδ
Αν
εξακολουθεί να ισχύει το ζητούμενο αφού
.
Αν
ισχύει το ζητούμενο (απόδειξη όπως η α περίπτωση)
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 09, 2013 2:36 pm
από parmenides51
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Να παρατηρήσουμε, ότι όμοια αποδεικνύεται και το αντίστροφο: Αν
, τότε
το ευθύ πάλι
εδώ, το αντίστροφο
εδώ
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 09, 2013 11:42 pm
από thanasis.a
..καλησπέρα.
και μια παραλλαγή μιας παραλλαγής
από ν. ημιτόνων έχουμε:
από ν. συνημιτόνων έχουμε:
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 21, 2015 10:38 am
από Doloros
KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο
, όπου
, ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
- Σαν Πυθαγόρειο.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 3083 φορές
Γράφουμε το ημικύκλιο κέντρου
και ακτίνας
προς την πλευρά του
.
Η προέκταση του
προς το Α τέμνει ακόμα το ημικύκλιο στο σημείο
. Προφανώς
.
Η γωνία
ως εξωτερική στο τρίγωνο
, και εξ αιτίας της
θα ισχύει:
.
Αλλά από την υπόθεση
, οπότε και λόγω της
και της
έχουμε
.
Από τη δύναμη του σημείου
ως προς το ημικύκλιο έχουμε :
και λόγω της
,
. ο. ε. δ.
Πάντα φιλικά Νίκος
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 21, 2015 12:28 pm
από sakis1963
- GEOMETRIA Σαν Πυθαγόρειο.png (17.12 KiB) Προβλήθηκε 3049 φορές
Καλημέρα,
μια ακόμη λύση που πρέπει να μπεί συλλογή.
Γράφω κύκλο
και όλα λύνονται δια μαγείας
Φιλικά, Σάκης
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 21, 2015 7:24 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο
, όπου
, ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
- Σαν Πυθαγόρειο.png (6.65 KiB) Προβλήθηκε 2995 φορές
Φέρνω τη γωνία
και έστω
, οπότε
.
Η
είναι διχοτόμος της
:
Αλλά,
. Από
:
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 12:18 am
από Γιώργος Μήτσιος
Eυκαιρία με το ωραίο Θέμα-Θεώρημα που αναδύθηκε να πω καλημέρα σε τόσους φίλους !
Μια ακόμη παραλλαγή
- KARKAR Σαν Πυθαγόρειο!.PNG (9.26 KiB) Προβλήθηκε 1948 φορές
Ο κύκλος
τέμνει το ημικύκλιο
διαμέτρου στο
και την
στο
.
Έχουμε
άρα
Στο ορθογώνιο
:
ενώ και
ως
εφαπτόμενο.
Συνεπώς
.
Φιλικά Γιώργος.
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 1:41 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
KARKAR έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 05, 2012 11:40 pm
Στο τρίγωνο
, όπου
, ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Άλλη μια λύση
Η παράλληλη από το
στην
τέμνει τη διχοτόμο της
στο
και προφανώς
εγγράψιμο ισοσκελές τραπέζιο
Από Πτολεμαίο
- σαν Πυθαγόρειο.png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 1895 φορές
Re: Σαν Πυθαγόρειο
Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 16, 2018 10:36 am
από STOPJOHN
KARKAR έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 05, 2012 11:40 pm
Στο τρίγωνο
, όπου
, ισχύει άραγε το φερόμενο ως Θεώρημα ;
Προεκτείνω την
κατά τμήμα
. Είναι
Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο
Από τα όμοια τρίγωνα
Γιάννης