Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα

#1

Θεωρούμε κανονικό $\displaystyle{ n }$ - γωνο $\displaystyle{ A_1 A_2 A_3 \ldots A_n }$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{ \left( {O,R} \right) }$ .

Να δειχθεί ότι το το άθροισμα των τετραγώνων των δυνάμεων των κορυφών του προς τυχαία σφαίρα $\displaystyle{ \left( {K,r} \right) }$

του χώρου παραμένει σταθερό δηλαδή $\displaystyle{ \boxed{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {D_{\left( {K,r} \right)}^{A_i } } \right)^2 = ct} } }$ ( όπου $\displaystyle{ D_{\left( {K,r} \right)}^{A_i } }$ είναι η δύναμη του $\displaystyle{ A_i ,\;i \in \left\{ {1,2,3, \ldots ,n} \right\} }$

ως προς τη σφαίρα $\displaystyle{ \left( {K,r} \right) }$ ) , όταν το πολύγωνο στρέφεται γύρο από το κέντρο του .

Στάθης

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 03, 2012 5:33 pm
Θεωρούμε κανονικό $\displaystyle{ n }$ - γωνο $\displaystyle{ A_1 A_2 A_3 \ldots A_n }$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{ \left( {O,R} \right) }$ .

Να δειχθεί ότι το το άθροισμα των τετραγώνων των δυνάμεων των κορυφών του προς τυχαία σφαίρα $\displaystyle{ \left( {K,r} \right) }$

του χώρου παραμένει σταθερό δηλαδή $\displaystyle{ \boxed{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {D_{\left( {K,r} \right)}^{A_i } } \right)^2 = ct} } }$ ( όπου $\displaystyle{ D_{\left( {K,r} \right)}^{A_i } }$ είναι η δύναμη του $\displaystyle{ A_i ,\;i \in \left\{ {1,2,3, \ldots ,n} \right\} }$

ως προς τη σφαίρα $\displaystyle{ \left( {K,r} \right) }$ ) , όταν το πολύγωνο στρέφεται γύρο από το κέντρο του .

Στάθης

Είναι $\displaystyle{\rm \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {D_{\left( {K,r} \right)}^{A_i } } \right)^2 }=\sum_{i=1}^{n}(KA_i^2-r^2)^2=\sum_{i=1}^{n}KA_i^4-2r^2\sum_{i=1}^{n}KA_i^2+nr^4}$
Είναι $\rm nr^4$ σταθερό.Θα δείξω πως $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}KA_i^2}}$ σταθερό.
Για αρχή θα δείξω πως $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{\rm OA_i}=0}$ .
Θεωρώ στροφή διανύσματος $\rm P$ γωνίας $\rm \dfrac{360^{\circ}}{n}$ έτσι $\rm P(\overrightarrow {\rm OA_i})=\overrightarrow {\rm OA_{i+1}}$ με $\rm A_{n+1} \equiv A_1$
Άρα $\displaystyle {\rm{ P(\sum_{\rm i=1}^{n} \overrightarrow {\rm OA_i})=\sum_{\rm i=1}^{n}P( \overrightarrow{\rm OA_i})}}=\sum_{\rm i=1}^{\rm n}\overrightarrow{\rm OA_{i+1}}=\sum_{\rm i=1}^{\rm n}\overrightarrow{\rm OA_{i}}$ .Αφού το διάνυσμα $\displaystyle \sum_{\rm i=1}^{\rm n}\overrightarrow{\rm OA_{i}}$ με την μη μηδενικής και πλήρης γωνίας στροφή δεν μεταβάλλεται θα είναι το μηδενικό.Άρα $\rm O$ βαρύκεντρο των $\rm A_i,i=1,2..,n$
Χρησιμοποιώντας τι αποτέλεσμα εδώ παίρνουμε
$\displaystyle{\rm {n^2}KO^2} = \rm n\sum\limits_{i = 1}^n {KA_i^2} - \sum\limits_{1 \le j < k \le n} {{A_j}A_k^2} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {KA_i^2}=\rm {n}KO^2}}+\dfrac{\displaystyle \sum\limits_{1 \le j < k \le n} {{A_j}A_k^2} }{n}=ct$ .
Μένει να δείξω ότι $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}KA_i^4}}$ σταθερό.
Είναι
$\displaystyle{\rm \sum_{i=1}^n KA_i^4=\sum_{i=1}^n(\overrightarrow {\rm KA_i})^4=\sum_{i=1}^n(\overrightarrow {\rm KO}+\overrightarrow{\rm OA_i})^4=\sum_{i=1}^n((\overrightarrow {\rm KO})^2+(\overrightarrow{\rm OA_i})^2+2\overrightarrow {\rm KO}\cdot \overrightarrow {\rm OA_i})^2}$
$=\displaystyle {\rm nKO^4+\sum_{i=1}^n OA_i^4+4KO^2\sum_{i=1}^n OA_i^2+2KO^2\sum_{i=1}^n OA_i^2}+ \rm 4(\overrightarrow {\rm KO})^3\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\rm OA_i}+4\overrightarrow{KO}\cdot\sum_{i=1}^n (\overrightarrow{\rm OA_i})^3$ .
Από τους παραπάνω όρους του αθροίσματος ο μόνος που δεν είναι σταθερός είναι ο τελευταίος.
Αρκεί να δείξω ότι το εσωτερικό γινόμενο $\displaystyle {\rm \overrightarrow{\rm KO}\cdot\sum_{i=1}^n (\overrightarrow{\rm OA_i})^3}$ μένει σταθερό κατά την περιστροφή του πολυγώνου.
Όμως $\rm OA_i^2=R^2\forall i$ άρα $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^n (\overrightarrow {\rm OA_i})^3=R^2(\sum_{i=1}^n \overrightarrow {\rm OA_i})=0}$ και το ζητούμενο έπεται.

min## · #3

Σημείωση:Το συμπέρασμα εξακολουθεί να ισχύει και για κανονικά στερεά ή και γενικά για στερεά εγγράψιμα σε σφαίρα με σταθερό κέντρο βάρους κατόπιν περιστροφής.
Υπάρχει ικανοποιητική θεωρία που τα αντιμετωπίζει όλα αυτά και κάποια αρκετά γενικότερα.Ίσως επανέλθω κάποια στιγμή στο μέλλον.

Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα

Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα

Re: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα

Re: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα

Μέλη σε σύνδεση