Θέμα Γεωμετρίας 1

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Θέμα Γεωμετρίας 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Πέμ Δεκ 29, 2011 12:26 am

Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι {{C}_{1}}: \left( O,\,{{R}_{1}} \right), {{C}_{2}}: \left( O,\,{{R}_{2}} \right) με {{R}_{1}}>{{R}_{2}} και σημείο P του κύκλου {{C}_{2}}. Αν Α τυχαίο σημείο του κύκλου {{C}_{2}} και {{A}_{1}}, {{A}_{2}} είναι τα κοινά σημεία του {{C}_{1}} με την κάθετη της ΡΑ, στο Ρ, τότε:

α) P{{A}^{2}}+P{{A}_{1}}^{2}+P{{A}_{2}}^{2}=C

β) A{{A}_{1}}^{2}+A{{A}_{2}}^{2}+{{A}_{1}}{{A}_{2}}^{2}=C, όπου C σταθερά.

γ) Το κέντρο βάρους του τριγώνου {{A}_{1}}A{{A}_{2}} είναι σταθερό.

δ) Τα μέσα των πλευρών A{{A}_{1}}, A{{A}_{2}} του τριγώνου {{A}_{1}}A{{A}_{2}} ανήκουν σε σταθερό κύκλο.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα Γεωμετρίας 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 29, 2011 8:39 am

Καλημέρα
Ερώτηση το C στο a ερώτημα και στο b είναι τα ίδια ;
Γιάννης Σ


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα Γεωμετρίας 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 29, 2011 11:11 am

α)Έστω M,N τα ίχνη των καθέτων από το O στις χορδές A_{1}A_{2},PA αντίστοιχα θα είναιPA^{2}=4(PN)^{2}=4(R_{2}^{2}-ON^{2}),           
PA_{1}^{2}+PA_{2}^{2}= 
(PA_{1}+PA_{2})^{2}-2PA_{1}PA_{2}=2R_{1}^{2}+2R_{2}^{2}-4OM^{2} Συνεπώς PA^{2}+PA_{1}^{2}+PA_{2}^{2}=2R_{1}^{2}+2R_{2}^{2}
β) AA_{1}^{2}+AA_{2}^{2}+A_{1}A_{2}^{2}=AP^{2}+A_{1}P^{2}+AP^{2}+PA_{2}^{2}+A_{1}A_{2}^{2}=2R_{1}^{2}+2R_{2}^{2}+AP^{2}+A_{1}A_{2}^{2}=4R_{1}^{2}+4R_{2}^{2}+2R_{1}^{2}-2R_{2}^{2}=6R_{1}^{2}+R_{2}^{2}
c)Η AO τέμνει τον κύκλο (c_{2}) στο σημείο T και είναι διάμετρος του γιατί η γωνία APT είναι ορθή Αν S είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου APT τότε το S είναι βαρύκεντρο και του τριγώνου AA_{1}A_{2} γιατί το σημείο M είναι το μέσο των χορδών A_{1}A_{2},PM Συνεπώς θα είναι PS=\frac{2}{3}R_{2} δηλαδή το βαρύκεντρο είναι σταθερό
Για το δ ερώτημα ...σε λίγο ελέγχω τις πράξεις


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1884
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Θέμα Γεωμετρίας 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Δεκ 29, 2011 12:58 pm

δ) Έστω ότι L,N τα μέσα των πλευρών AA_{1},AA_{2} αντίστοιχα και K το σημείο τομής των AM,LN
τότε το K είναι το μέσο των LN,AM Η μεσοκάθετος του τμήματος LN τέμνει την PO στο σημείο J που είναι το μέσο της ακτίνας ,σταθερό και το LJ=NJ Στο τρίγωνο OA_{1}M είναι OA_{1}^{2}=A_{1}M^{2}+OM^{2}\Leftrightarrow A_{1}A_{2}^{2}+AP^{2}=4R_{1}^{2} οπότε η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι LJ^{2}=\frac{PA^{2}}{16}+\frac{A_{1}A_{2}^{2}}{16},  LJ=\frac{R_{1}}{2} και κέντρο το σταθερό σημείο J

Γιάννης Σ

Σχόλιο Οι γεωμετρικοί τόποι έχουνε τη διαδικασία Ανάλυση, σύνθεση,απόδειξη,κατασκευή,διερεύνηση ....Αλλά για λόγους απλούστευσης τα παρακάμπτουμε..............


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Re: Θέμα Γεωμετρίας 1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Πέμ Δεκ 29, 2011 3:36 pm

STOPJOHN έγραψε:Καλημέρα
Ερώτηση το C στο a ερώτημα και στο b είναι τα ίδια ;
Γιάννης Σ
Παράληψή μου, Γιάννη. Όπως είδες είναι διαφορετικά.
ghan.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 1 επισκέπτης