Γεωμετρία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6912
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Γεωμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιαν 06, 2009 11:25 pm

Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Αν Μ σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ (διαφορετικό
απο τα Α,Β), να αποδείξετε οτι: ΜΓ=ΜΑ+ΜΒ.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13176
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γεωμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 06, 2009 11:30 pm

chris_gatos έγραψε:Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Αν Μ σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ (διαφορετικό
απο τα Α,Β), να αποδείξετε οτι: ΜΓ=ΜΑ+ΜΒ.
Υπόδειξη: Θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμμο ΜΑΓΒ.


Άβαταρ μέλους
GiannisL
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:29 am
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Γεωμετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GiannisL » Τετ Ιαν 07, 2009 1:42 am

Στην προέκταση της ΜΒ θεωρώ ΜΔ=ΜΑ
Η γωνία Μ1=Β=60 γωνία Μ2=Α=60 Άρα γωνία Μ3=60 και επειδή το
τρίγωνο ΜΑΔ ισοσκελές Δ=Α=60 άρα ισόπλευρο Επίσης Γ1=Β2
Αρα τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΜΓ Έχουν τις γωνίες ΔΑΒ και ΜΑΓ ίσες και
ΑΔ=ΑΜ επομένως είναι ίσα άρα ΜΓ=ΒΔ=ΒΜ+ΜΑ
Συνημμένα
zz.png
zz.png (26.48 KiB) Προβλήθηκε 1445 φορές


Γιάννης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13176
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γεωμετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 07, 2009 1:03 pm

chris_gatos έγραψε:Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Αν Μ σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ (διαφορετικό
απο τα Α,Β), να αποδείξετε οτι: ΜΓ=ΜΑ+ΜΒ.
Ωραία η λύση του Γιάννη. Παραθέτω και άλλες, από τις οποίες η πρώτη είναι ίσως η πιο κλασική και η δεύτερη είναι παραλλαγή της λύσης του Γιάννη, με μόνη διαφορά ότι δουλεύουμε μέσα στο ΑΒΓ αντί από έξω.

1) Από το το θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμμο ΜΑΓΒ είναι ΜΓ.ΑΒ = ΜΑ.ΒΓ + ΜΒ.ΑΓ. Αλλά ΑΒ=ΒΓ=ΑΓ. Μετά την απλοποίηση των ίσων, μένει ΜΓ= ΜΑ + ΜΒ.

2) Παίρνουμε στην ΜΓ σημείο Δ με ΜΑ=ΜΔ. Είναι τότε ΑΜΔ ισόπλευρο και άρα γωνία A_1 = A_3 (= 60 – A_2). Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ, ΑΜΒ είναι ίσα, οπότε ΜΒ = ΓΔ. Άρα ΜΓ = ΜΔ + ΔΓ = ΜΑ + ΜΒ.

3) Παρατηρούμε ότι 180 - \hat {MB\Gamma}= \hat {MA\Gamma}= 60 + \hat{A_1} = \theta . Άρα οι \hat{MB\Gamma}, \hat {MA\Gamma} και \theta έχουν τα ίδια ημίτονα. Από την ισότητα εμβαδών (ΜΑΓΒ) = (ΜΑΓ) + (ΜΒΓ) λαμβάνουμε \frac{1}{2}MΓ.ΑΒ.ημθ = \frac{1}{2}MΑ.ΑΓ.ημΜΑΓ + \frac{1}{2}MΒ.ΒΓ.ημΜΒΓ. Απλοποιώντας τους ίσους παράγοντες (ημίτονα και πλευρές), μένει το αποδεικτέο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.
Συνημμένα
.JPG
.JPG (18.23 KiB) Προβλήθηκε 1388 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες