ισότητες εξαιτίας ισότητας

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4007
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

ισότητες εξαιτίας ισότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιουν 28, 2011 9:34 pm

Δίνεται το τετράπλευρο \displaystyle{ 
ABCD 
} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{ 
\left( O \right) 
}. Ευθεία \displaystyle{ 
\left( \varepsilon  \right) 
} τέμνει τις ευθείες \displaystyle{ 
AB,AD,CD,CB,BD,AC 
} στα σημεία \displaystyle{ 
M,N,M',N',P,P' 
} αντίστοιχα.

Αν τα σημεία \displaystyle{ 
M,M' 
} ισαπέχουν από το κέντρο \displaystyle{ 
O 
} του \displaystyle{ 
\left( O \right) 
} τότε να δειχθεί ότι και τα ζεύγη \displaystyle{ 
N,N' 
} και \displaystyle{ 
P,P' 
} ισαπέχουν από το \displaystyle{ 
O 
}.

Δηλαδή αν \displaystyle{ 
\left( {OM = OM'} \right) \Rightarrow \left( {ON = ON'\; \wedge \;OP = OP'} \right) 
}


Στάθης
Συνημμένα
ισότητες εξαιτίας ισότητας.png
ισότητες εξαιτίας ισότητας.png (41.31 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ισότητες εξαιτίας ισότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Απρ 20, 2020 6:25 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 28, 2011 9:34 pm
Δίνεται το τετράπλευρο \displaystyle{ 
ABCD 
} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{ 
\left( O \right) 
}. Ευθεία \displaystyle{ 
\left( \varepsilon  \right) 
} τέμνει τις ευθείες \displaystyle{ 
AB,AD,CD,CB,BD,AC 
} στα σημεία \displaystyle{ 
M,N,M',N',P,P' 
} αντίστοιχα.

Αν τα σημεία \displaystyle{ 
M,M' 
} ισαπέχουν από το κέντρο \displaystyle{ 
O 
} του \displaystyle{ 
\left( O \right) 
} τότε να δειχθεί ότι και τα ζεύγη \displaystyle{ 
N,N' 
} και \displaystyle{ 
P,P' 
} ισαπέχουν από το \displaystyle{ 
O 
}.

Δηλαδή αν \displaystyle{ 
\left( {OM = OM'} \right) \Rightarrow \left( {ON = ON'\; \wedge \;OP = OP'} \right) 
}


Στάθης
Έστω \rm R,R' οι τομές της \displaystyle{\left( \varepsilon  \right)} με τον κύκλο με \rm MR<MR'.
Επειδή \rm OM=OM' τα \rm M,M' θα έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τον κύκλο δηλαδή \rm MR\cdot MR'=M'R\cdot M'R'.
Σύμφωνα με το ενέλιξη έχουμε \rm \dfrac{MN\cdot MN'}{M'N\cdot M'N'}=\dfrac{MR\cdot MR'}{M'R\cdot M'R'}=1 \Leftrightarrow MN\cdot MN'=M'N\cdot M'N'.
Η τελευταία γράφεται \rm MN(MN+NN')=M'N'(M'N'+NN') \Leftrightarrow (MN-M'N')(MN+M'N')=NN'(M'N'-MN) που εύκολα δίνει \rm MN=M'N' ,από εδώ εύκολα παίρνουμε ότι \rm ON=ON'.Εργαζόμαστε όμοια για τα \rm P,P'


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες