Τρίγωνο με γωνίες 40, 60 και 80 μοιρών

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Τρίγωνο με γωνίες 40, 60 και 80 μοιρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιουν 09, 2009 6:15 pm

Ακόμα μία όμορφη άσκηση σε τρίγωνο με γωνίες 40, 60 και 80 μοιρών
Συνημμένα
80 Moires.jpg
80 Moires.jpg (47.5 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
lonis
Δημοσιεύσεις: 406
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 12:33 am
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Τρίγωνο με γωνίες 40, 60 και 80 μοιρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lonis » Τετ Ιουν 10, 2009 10:35 am

Καλημέρα σε όλους τους "μοιρολόγους"...

Είναι φανερό ότι \hat{ABE}=10^{o},\hat{EBD}=30^{o},\hat{BAD}=40^{o},\hat{DAC}=20^{o} και τα τρίγωνα ADC, BDA είναι ισοσκελή. Προεκτείνοντας την AD κατά DH=DC, τα τρίγωνα BDH, ADC είναι προφανώς ίσα, άρα \hat{H}=80^{o} οπότε \hat{HBE}=50^{o}=\hat{BEH}. Έτσι, HE=BH=DA άρα HD=EA δηλαδή DC=AE. Η γωνία CED είναι 30 μοίρες όπως συζητήσαμε εδώ: viewtopic.php?f=49&t=628

Λεωνίδας Θαρραλίδης
Συνημμένα
με 40, 60, 80 μοίρες.png
με 40, 60, 80 μοίρες.png (4.49 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές


Κάνε το θαύμα για να τ' αρνηθείς (Α. Μπρετόν - Π. Ελυάρ)
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Τρίγωνο με γωνίες 40, 60 και 80 μοιρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Ιουν 10, 2009 4:07 pm

Αλλη μια λυση με νομο ημιτονων. Θετουμε x = \angle{ACE}.

Στο τριγωνο \triangle{ABD} :

\frac{AE}{ED} = \frac{AE}{BE} \frac{BE}{ED} = \frac{\sin 10^o \cos 10^o}{\sin 40^o \sin 30^o} = \frac{1}{2 \cos 20^o}

Στο τριγωνο \triangle{ADC}:

\frac{AE}{ED} = \frac{AE}{CE} \frac{CE}{ED} = \frac{\sin x \cos 10^o}{\sin 20^o \sin(80^o - x)} = \frac{\sin x}{2 \sin 10^o \sin(80^o - x)}

Εξισωνοντας τα δυο εχουμε \frac{\sin x}{\sin (80^o - x)} = \frac{\sin 10^o}{\cos 20^o}. Απο τη μονοτονια του αριστερου μελους εχουμε x = 10^o απο οπου επεται η απαντηση.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Τρίγωνο με γωνίες 40, 60 και 80 μοιρών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Ιουν 10, 2009 8:48 pm

Ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες λύσεις!

Είχα φτάσει κι εγώ στην τριγωνομετρική εξίσωση \frac{sin(x)}{cos(10^{o}+x)}=\frac{sin(10^{o})}{cos(20^{o})} αλλά η κλασσική λύση της μου διέφευγε ..


Σεραφείμ Τσιπέλης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Τρίγωνο με γωνίες 40, 60 και 80 μοιρών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Παρ Ιουν 19, 2009 11:50 pm

Από τα δεδομένα προκύπτει BD =AD = AC (1)
\bulletΦέρνουμε EF // AB , τότε το ΑΕFB είναι ισοσκελές τραπέζιο(προσκείμενες ίσες). Από το τραπέζιο παίρνουμε \hat{A_1}=\hat{F_1}=10^o και συμπεραίνουμε \hat{FAC}=\hat{CFA}=50^o

Δηλαδή το τρίγωνο FAC είναι ισοσκελές οπότε FC = AC που λόγω της (1) δίνει FC = BD και άρα BF = DC (2)

\bulletΈστω F' το συμμετρικό του F ως προς την BE. Επειδή \hat{FBG}=30^o προκύπτει ότι το τρ.BFF' είναι ισόπλευρο , άρα FF' = BF και λόγω της (2) ισχύει FF' = DC (3) . Το τρ. FEF' είναι ισοσκελές με \hat{F^{\prime}EF}=20^o(αφού \hat{E_1}=10^o από το ισοσκελές τραπέζιο).

Σε συνδυασμό με την (3) προκύπτει τρ.FEF' = τρ.ADC οπότε: FE=AC\Rightarrow FE=FC . Δηλαδή το τρFEC είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 40^o οπότε \hat{FCE}=70^o και συνεπώς \hat{DEC}=30^o.

Γιώργος



Persona_Non_Grata.png
Persona_Non_Grata.png (47.1 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες