Γωνία

erxmer · #1

Απο σημείο Μ , εσωτερικό γωνίας χοψ φέρνουμε ευθεία ε που τέμνει τις Οχ, Οψ στα σημεία Α, Β αντίστοιχα.
1. Να δειχθεί οτι το άθροισμα $\frac{1}{(OAM)}+\frac{1}{(OBM)}$ είναι σταθερό.
2. Να βρεθεί η θέση της ε για την οποία το (ΟΑΒ) γίνεται ελάχιστο.

#2

Μία διευρεύνηση στον πρόβλημα με τη βοήθεια συστήματος συντεταγμένων.

: 03-1-2011Geometry.png (23.2 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

1) Η γωνία $\displaystyle \widehat{xOy}$ πρέπει να είναι κυρτή, για να σχηματίζονται τα τρίγωνα.

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων x΄Oy΄ με αρχή Ο(0, 0) θεωρούμε σημείο Μ(1, 0) και τις ημιευθείες Οx και Οy, εκατέρωθεν της Οx΄που σχηματίζουν αντίστοιχα γωνίες ω και φ με την Οx΄.
Έστω ευθεία, διερχόμενη από το Μ που τέμνει την Οx στο Α και την Οy στο Β.

Έστω $\displaystyle A\left( {\alpha ,\;\varepsilon \phi \omega \cdot \alpha } \right),\;\;{\rm B}\left( {\beta ,\; - \varepsilon \phi \phi \cdot \beta } \right),\;\;0 < \alpha < 1 < \beta$ .

Φέρνουμε τις κάθετες από τα Α και Β στην Οx΄, που την τέμνουν στα $\displaystyle {\rm K}\left( {\alpha ,\;0} \right),\;\;{\rm B}\left( {\beta ,\;0} \right)$ αντίστοιχα.

Οπότε:
$\displaystyle \begin{array}{l} \left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right) = \frac{\alpha }{2} \cdot \varepsilon \phi \omega ,\;\;\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right) = \frac{\beta }{2} \cdot \varepsilon \phi \phi \; \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}} = \frac{2}{{\alpha \cdot \varepsilon \phi \omega }} + \frac{2}{{\beta \cdot \varepsilon \phi \phi }} = 2\frac{{\beta \cdot \varepsilon \phi \phi + \alpha \cdot \varepsilon \phi \omega }}{{\alpha \cdot \beta \cdot \varepsilon \phi \omega \cdot \varepsilon \phi \phi }} \\ \end{array}$

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων ΑΚΜ και ΒΛΜ, που έχουν $\displaystyle \widehat{{\rm A}{\rm M}{\rm K}} = \widehat{{\rm B}{\rm M}\Lambda }$ ως κατακορυφήν, έχουμε: $\displaystyle \begin{array}{l} \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm B}\Lambda }} = \frac{{{\rm K}{\rm M}}}{{{\rm M}\Lambda }}\; \Rightarrow \;\frac{{\alpha \cdot \varepsilon \phi \omega }}{{\beta \cdot \varepsilon \phi \phi }} = \frac{{1 - \alpha }}{{\beta - 1}}\; \Rightarrow \;\alpha \beta \cdot \varepsilon \phi \omega - \alpha \cdot \varepsilon \phi \omega = \beta \cdot \varepsilon \phi \phi - \alpha \beta \cdot \varepsilon \phi \phi \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \alpha \beta \left( {\varepsilon \phi \omega + \varepsilon \phi \phi } \right) = \alpha \cdot \varepsilon \phi \omega + \beta \cdot \varepsilon \phi \phi \\ \end{array}$

οπότε $\displaystyle \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}} = 2\frac{{\alpha \cdot \beta \left( {\varepsilon \phi \omega + \varepsilon \phi \phi } \right)}}{{\alpha \cdot \beta \cdot \varepsilon \phi \omega \cdot \varepsilon \phi \phi }} = 2\frac{{\varepsilon \phi \omega + \varepsilon \phi \phi }}{{\varepsilon \phi \omega \cdot \varepsilon \phi \phi }} = 2\left( {\frac{1}{{\varepsilon \phi \omega }} + \frac{1}{{\varepsilon \phi \phi }}} \right)$ , που είναι σταθερό.

Έστω $\displaystyle A\left( {\alpha ,\;\varepsilon \phi \omega \cdot \alpha } \right),\;\;{\rm B}\left( {\beta ,\; - \varepsilon \phi \phi \cdot \beta } \right),\;\;0 < \beta < 1 < \alpha$ .

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων ΑΚΜ και ΒΛΜ, που έχουν $\displaystyle \widehat{{\rm A}{\rm M}{\rm K}} = \widehat{{\rm B}{\rm M}\Lambda }$ ως κατακορυφήν, έχουμε: $\displaystyle \begin{array}{l} \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm B}\Lambda }} = \frac{{{\rm K}{\rm M}}}{{{\rm M}\Lambda }}\; \Rightarrow \;\frac{{\alpha \cdot \varepsilon \phi \omega }}{{\beta \cdot \varepsilon \phi \phi }} = \frac{{\alpha - 1}}{{1 - \beta }}\; \Rightarrow \;\alpha \cdot \varepsilon \phi \omega - \alpha \beta \cdot \varepsilon \phi \omega = \alpha \beta \cdot \varepsilon \phi \phi - \beta \cdot \varepsilon \phi \phi \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \alpha \beta \left( {\varepsilon \phi \omega + \varepsilon \phi \phi } \right) = \alpha \cdot \varepsilon \phi \omega + \beta \cdot \varepsilon \phi \phi \\ \end{array}$

και συνεχίζουμε, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Έστω $\displaystyle A\left( {\alpha ,\;\varepsilon \phi \omega \cdot \alpha } \right),\;\;{\rm B}\left( {\beta ,\; - \varepsilon \phi \phi \cdot \beta } \right),\;\;\alpha = \beta = 1$ .

Τότε τα ύψη είναι τα ΑΜ. ΒΜ, οπότε $\displaystyle \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}} = 2\left( {\frac{1}{{\varepsilon \phi \omega }} + \frac{1}{{\varepsilon \phi \phi }}} \right)$ , σταθερό.

2) Ελάχιστη τιμή του (ΟΑΒ)

$\displaystyle \begin{array}{l} \left( {{\rm A}{\rm O}{\rm B}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm O}{\rm M}} \right) + \left( {{\rm O}{\rm M}{\rm B}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\alpha \cdot \varepsilon \phi \omega + \beta \cdot \varepsilon \phi \phi } \right) = \\ \\ = \frac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm K} + {\rm B}\Lambda } \right) \le \frac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm M} + {\rm M}{\rm B}} \right) = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \\ \end{array}$

με το ίσον να ισχύει όταν ΑΒ κάθετη στην ΟΜ.

Γιώργος Ρίζος

ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Η τιμή του εμβαδού του (ΟΑΒ) για ΑΒ κάθετη δεν είναι η ελάχιστη, όπως εκ παραδρομής έγραψα, εφόσον το μήκος ΑΒ δεν είναι σταθερό!
Το παρατήρησα, κοιτώντας την κομψή λύση του Σωτήρη παρακάτω, όπου η ελάχιστη τιμή προκύπτει όταν το Μ είναι μέσο της ΑΒ..

S.E.Louridas · #3

Έστω σημεία Γ της ημιευθείας Οχ και Δ της Οψ, ώστε
${\rm M}\Gamma \parallel {\rm O}{\rm B},{\rm M}\Delta \parallel {\rm O}{\rm A}\;o\pi o\tau \varepsilon :\frac{1} {2}\left( {\frac{{\left( {{\rm O}\Gamma {\rm M}\Delta } \right)}} {{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} + \frac{{\left( {{\rm O}\Gamma {\rm M}\Delta } \right)}} {{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}}} \right) = \frac{{{\rm O}\Gamma }} {{{\rm O}{\rm A}}} + \frac{{{\rm O}\Delta }} {{{\rm O}{\rm B}}} = 1 \Rightarrow \frac{1} {{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} + \frac{1} {{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}} = \frac{2} {{({\rm O}\Gamma {\rm M}\Delta )}},ct$

(*) Χρησιμοποιήθηκαν 1) κάθε διαγώνιος παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα, 2) ο λόγος τών εμβαδών δύο τριγώνων κοινού ύψους ισούται με τον λόγο των βάσεων τους ,3)το θ.Θαλή.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #4

Συμπληρώνοντας για το 2ο ερώτημα:
$4 \leqslant \left( {\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right) + \left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)} \right)\left( {\frac{1} {{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} + \frac{1} {{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}}} \right) = \frac{{2\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm B}} \right)}} {{\left( {{\rm O}\Gamma {\rm M}\Delta } \right)}} \Rightarrow \left( {{\rm O}{\rm A}{\rm B}} \right)_{\min } = 2\left( {{\rm O}\Gamma {\rm M}\Delta } \right),$
πράγμα που σημαίνει ότι στην περίπτωση αυτή το Μ θα είναι μέσο του ΑΒ.

(*) Χρησιμοποιήθηκε η γνωστή ανισότητα από την Α΄ Λυκείου
$\left( {a^2 + b^2} \right)\left( {c^2 + d^2} \right) \geqslant \left( {ac + bd} \right)^{^2 } \Rightarrow \left[ {\left( {a^2 + b^2} \right)\left( {c^2 + d^2} \right)} \right]_{\min } = \left( {ac + bd} \right)^{^2 } ,\alpha \nu \;ac + bd\;\sigma \tau \alpha \theta \varepsilon \rho \eta .$

(*) Επιτρέψτε μου να θεωρήσω ότι μία (Πανέμορφη αλλά δύσκολη) τέτοια άσκηση τίθεται γιά να διακρίνουμε τους πολύ καλούς στην Γεωμετρία Μαθητές σε μία τάξη, αφού πέρα από την Ανάλυση που είδαμε έχει και κατασκευαστικό, υποχρεωτικό κατα την άποψή μου,πεδίο στην φάση τουλάχιστον του 2ου Ερωτήματος.

S.E.Louridas

#5

Εννέα χρόνια μετά (!) συμπληρώνω την παραπάνω ατελή λύση, παίρνοντας αφορμή από τη συζήτηση ΕΔΩ.

Αφού $\displaystyle \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}}$ σταθερό, τότε το γινόμενό τους έχει μέγιστο γινόμενο όταν είναι ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι.

Πράγματι, είναι $\displaystyle \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right)}} = \frac{1}{{\left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)}} \Leftrightarrow \alpha \cdot \varepsilon \varphi \omega = \beta \cdot \varepsilon \varphi \varphi \Leftrightarrow {\rm A}{\rm K} = {\rm B}\Lambda$ , δηλαδή όταν

μέσο

.

Τότε το $\displaystyle \left( {{\rm O}{\rm A}{\rm M}} \right) \cdot \left( {{\rm O}{\rm B}{\rm M}} \right)$ γίνεται ελάχιστο, άρα το $\displaystyle \alpha \beta \left( {\varepsilon \varphi \omega + \varepsilon \varphi \varphi } \right)$ γίνεται ελάχιστο, οπότε και το

$\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm O}{\rm B}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm O}{\rm M}} \right) + \left( {{\rm O}{\rm M}{\rm B}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\alpha \cdot \varepsilon \varphi \omega + \beta \cdot \varepsilon \varphi \varphi } \right)$ γίνεται ελάχιστο.

Γωνία

Γωνία

Re: Γωνία

Re: Γωνία

Re: Γωνία

Re: Γωνία

Μέλη σε σύνδεση