Τρίγωνο σε τετράγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3549
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Τρίγωνο σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm

shape.png
shape.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ABCD.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2481
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Απρ 18, 2024 5:04 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ABCD.
Eστω TK\perp EM

Τότε από το εγγράψιμο τετράπλευρο TKBM,\hat{TMK}=45=\hat{TBK}

δηλαδή τα σημεία

B,T,O είναι συνευθειακά

EM^{2}=2EK^{2},20=EK.EK\Rightarrow EM=2\sqrt{10},AE=\dfrac{x\sqrt{5}}{2}-2\sqrt{10},

Απο το θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο

ABM,AT=\dfrac{\sqrt{5}x}{3},AT=AE+ET=\dfrac{x\sqrt{5}}{2}-\sqrt{10}\Rightarrow \dfrac{x\sqrt{5}}{3}

=\dfrac{x\sqrt{5}}{2}-\sqrt{10}\Rightarrow x=6\sqrt{2}
Συνημμένα
Τρίγωνο σε τετράγωνο.png
Τρίγωνο σε τετράγωνο.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13364
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 18, 2024 6:09 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ABCD.
Έστω 2a η πλευρά του τετραγώνου και KE=KM=x. Είναι \displaystyle {x^2} = 20 \Leftrightarrow \boxed{x=2\sqrt 5} και \boxed{EM=2\sqrt{10}}
Τρίγωνο σε τετράγωνο.ΜΝ.png
Τρίγωνο σε τετράγωνο.ΜΝ.png (10.48 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
\displaystyle \frac{{(EKM)}}{{(AKM)}} = \frac{{ME}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{20}}{{AK \cdot a}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{{a\sqrt 5 }} \Leftrightarrow AK = 5\sqrt 2

\displaystyle K{B^2} = {x^2} - {a^2} \Leftrightarrow {\left( {2a - 5\sqrt 2 } \right)^2} = 20 - {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 4a\sqrt 2  + 6 = 0,

με δεκτή ρίζα a=3\sqrt 2 (*), άρα \boxed{AB=2a=6\sqrt 2}


(*) Επειδή a<x=2\sqrt 5 και \displaystyle AB > AK \Leftrightarrow 2a > 5\sqrt 2, έχουμε τον περιορισμό \boxed{\frac{{5\sqrt 2 }}{2} < a < 2\sqrt 5}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 18, 2024 7:20 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ABCD.
Ας είναι Z η προβολή του E στην AB και η πλευρά του τετραγώνου 2a.

Επειδή \omega  + \theta  = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tan \omega  = \dfrac{1}{2} αναγκαστικά για την οξεία γωνία \theta από τον τύπο : \dfrac{{\tan \omega  + \tan \theta }}{{1 - \tan \omega \tan \theta }} = \tan 45^\circ  = 1, έχω \tan \theta  = \dfrac{1}{3}\,\,\,\left( 1 \right).
τρίγωνο σε τετράγωνο.png
τρίγωνο σε τετράγωνο.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Αλλά M{K^2} = M{B^2} + K{B^2} \Rightarrow M{K^2} = {a^2} + {x^2} \Rightarrow MK = \sqrt {{a^2} + {x^2}} . Αφού όμως \left( {KME} \right) = \dfrac{1}{2}M{K^2} \Rightarrow M{K^2} = 20\,\,\,\left( 2 \right) . Από τις \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right),

\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} + {a^2} = 20 \hfill \\ 
  a = 3x \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \sqrt 2  \hfill \\ 
  a = 3\sqrt 2  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{AB = 2a = 6\sqrt 2 }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2798
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο σε τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Απρ 20, 2024 3:12 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2024 3:33 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ABCD.
Ο περίκυκλος του \triangle EKM τέμνει την AB στο N και την CD στο P

Είναι \angle KPB=45^0 \Rightarrow PB=BK=x κι έστω AK=y.Επειδή οι κόκκινες γωνίες προφανώς είναι

ίσες και \angle AMK=45^0 \Rightarrow  \angle NMB=45^0 \Rightarrow BN=BM= \dfrac{a}{2}

Ισχύει (θ.Steiner)  \dfrac{AN.y}{BN.x} = \dfrac{AM^2}{MB^2}= \dfrac{ \dfrac{5a^2}{4} }{ \dfrac{a^2}{4} }=5   \Rightarrow  \dfrac{y}{x}=5  \Rightarrow x= \dfrac{a}{6}

Τώρα με Π.Θ στο  \triangle KBM \Rightarrow a= 6 \sqrt{2}
Τρίγωνο σε τετράγωνο.png
Τρίγωνο σε τετράγωνο.png (23 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες