Δίκυκλο τμήμα

#1

: Δίκυκλο τμήμα.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Η χορδή

ενός κύκλου είναι κάθετη στη διάμετρο

στο

. Θεωρούμε ένα σημείο

του κύκλου (A, AC)

ώστε

Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος PB=x.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα και καλό μήνα! Μια προσπάθεια

: Δίκυκλο τμήμα.PNG (8.42 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές

Με το α' θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο CDP

παίρνουμε

Φέρω τα αποστήματα AM,AN

, τότε τα

μέσα και το τρίγωνο MPN

έχει

.

Ο Ν. συνημιτόνων δίνει $cos\left ( \widehat{MPN} \right )=-2/7$ . Το AMPN

με δύο απέναντι ορθές είναι εγγράψιμο οπότε
$sin\left ( \widehat{MAN} \right )=sin\left ( \widehat{MPN} \right )=\dfrac{3\sqrt{5}}{7}$ συνεπώς διάμετρος $AP=\dfrac{MN}{sin\left ( \widehat{MAN} \right )}=\dfrac{42\sqrt{5}}{5}$ .

Έτσι AC=AP

(ακτίνες) και το Πυθαγόρειο στο ACE

δίνει $AE=12\sqrt{5}/5$

Ακόμη έχουμε $AE\cdot EB=CE\cdot ED=324\Rightarrow EB=27\sqrt{5}$ . Τέλος χάρις στο Θ Stewart ισχύει

$AE\cdot PB^{2}+EB\cdot AP^{2}=AB\left ( PE^{2}+AE\cdot EB \right )$ από την οποία προκύπτει PB=49

.
Αν το αποτέλεσμα δεν είναι ορθό ..

.. ας θεωρηθεί ως πρωταπριλιάτικο..πάντως έχω την υπόνοια-προσδοκία για συντομότερη διαδρομή.
Φιλικά Γιώργος.

#3

Προεκτείνω τις CP,DP

και τέμνουν το μεγάλο κύκλο στα Z,H

. Η ευθεία

τέμνει το μικρό κύκλο στο

. Με πρώτο Θ διαμέσων στο $\vartriangle PCD$ έχω CD = 36

.

Το $\vartriangle HTD$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

γιατί είναι όμοιο με το $\vartriangle OCA$ . Άρα και το HCP

ισοσκελές και το τετράπλευρο TDPC

ισοσκελές τραπέζιο.

Με όμοιο τρόπο έχω ότι και το τρίγωνο ZPD

είναι ισοσκελές .

Με Θ. Πτολεμαίου στο τραπέζιο αυτό έχω TD = 32 = 2CP

άρα το

μέσο στο

Είναι $HA \bot CP$ αφού η διχοτόμος σε ισοσκελές τρίγωνο από την κορυφή του είναι και ύψος .

: Δίκυκλο τμήμα.png (55.03 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Αλλά και $HB//CZ\,\,$ $HB \bot HA$ γιατί η εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή .

Άμεσες συνέπειες : HB//CZ

, το τετράπλευρο CZBH

είναι ισοσκελές τραπέζιο

και το τετράπλευρο PZBH

παραλληλόγραμμο.

Μετά απ αυτά : $DP = PH = BZ = HC = 28\, = 4k \Rightarrow k = 7$ και άρα

DZ = 7k = 49 = HB

( αφού και το τετράπλευρο HBZD

είναι ισοσκελές τραπέζιο )

Από το Θ Πτολεμαίου στο τραπέζιο αυτό βρίσκω HZ = BD = 63

και μετά με Θ.

διαμέσων στο $\vartriangle BHD$ το x = PB = 49

Δείτε το και πιο απλά αφού το τετράπλευρο PBZD

είναι κι αυτό παραλληλόγραμμο .

#4

Ευχαριστώ το Γιώργο και το Νίκο για τις λύσεις τους και δίνω άλλη μία προσέγγιση, από το σημείο που έχει βρεθεί EC=ED=18.

: Δίκυκλο τμήμα.β.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 938 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στο PCD

βρίσκω $\displaystyle \cos \varphi = \frac{2}{3},\cos \omega = \frac{{19}}{{21}}$ και στη συνέχεια $\displaystyle \sin \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{3},\sin \omega = \frac{{4\sqrt 5 }}{{21}}.$

$\displaystyle \cos (\omega + \varphi ) = \frac{{DE}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{18}}{{63}} = \frac{{18}}{{BD}} \Leftrightarrow BD = 63$ και $\displaystyle \frac{{DP}}{{BD}} = \frac{{28}}{{63}} = \frac{{16}}{{36}} = \frac{{CP}}{{CD}},$ απ' όπου προκύπτει ότι τα

τρίγωνα PCD, PDB

είναι όμοια και εύκολα τώρα $\boxed{x=49}$

Δίκυκλο τμήμα

Δίκυκλο τμήμα

Re: Δίκυκλο τμήμα

Re: Δίκυκλο τμήμα

Re: Δίκυκλο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση