Ισοϋψής απόσταση κέντρων

#1

: Ισοϋψής απόσταση κέντρων.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB=AC)

είναι

το ύψος,

το βαρύκεντρο και

το περίκεντρο.

Αν AD=KG

, να βρείτε τη σχέση μεταξύ των πλευρών του τριγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: Στο ισοσκελές τρίγωνο είναι το ύψος, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο.

Αν , να βρείτε τη σχέση μεταξύ των πλευρών του τριγώνου.

Γιώργο καλησπέρα.

Εργαζόμαστε στο ακόλοθο σχήμα:

: Ισοϋψής απόσταση κέντρων 1.PNG (24.25 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι:

$\displaystyle{AG=DK,\ \ (1)}$

Αν θέσουμε $\displaystyle{GD=x}$ τότε $\displaystyle{AG=DK=2x, \ \ (2)}$

Από τη σχέση $\displaystyle{abc=4ER \ \ (3)}$ που ισχύει σε κάθε τρίγωνο, αν θεωρήσουμε
τα συγκεκριμένα στοιχεία του ισοσκελούς αυτού τριγώνου, δηλαδή:

Πλευρές: $\displaystyle{a, b, c=b}$
Εμβαδόν: $\displaystyle{E=\frac{a\cdot 3x}{2} }$
Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου: $\displaystyle{R=5x}$

θα προκύψει η σχέση:

$\displaystyle{ab^2=4\cdot \frac{a\cdot 3x}{2} \cdot 5x}$

δηλαδή:

$\displaystyle{b^2=30x^2 \ \ (4)}$

Αν τώρα θεωρήσουμε το πρώτο θεώρημα της διαμέσου για την κορυφή $\displaystyle{A}$ του ισοσκελούς αυτού τριγώνου
τότε θα είναι:

$\displaystyle{b^2+c^2=2m^2_a+\frac{a^2}{2} \ \ (5)}$

Η σχέση αυτή μετά από την αντικατάσταση $\displaystyle{c=b, \ \ m_a=3x}$ κι αν αξιοποιήσουμε και την (4) τελικά
δίνει:

$\displaystyle{\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{5}{14}}}$

η οποία είναι και η ζητούμενη σχέση που ικανοποιούν οι πλευρές του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

Κώστας Δόρτσιος

#3

george visvikis έγραψε:Ισοϋψής απόσταση κέντρων.png
Στο ισοσκελές τρίγωνο είναι το ύψος, το βαρύκεντρο και το περίκεντρο.

Αν , να βρείτε τη σχέση μεταξύ των πλευρών του τριγώνου.

: ισουψής απόσταση κέντρων.png (23.17 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

$\left\{ \begin{gathered} {b^2} = 30{x^2} \hfill \\ {y^2} = 21{x^2} \hfill \\ 2y = a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt {70} }}{5}}$

Αφού από το ορθογώνιο τρίγωνο CAS

ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} A{C^2} = AD \cdot AS \hfill \\ C{D^2} = DA \cdot DS \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ισοϋψής απόσταση κέντρων

Ισοϋψής απόσταση κέντρων

Re: Ισοϋψής απόσταση κέντρων

Re: Ισοϋψής απόσταση κέντρων

Μέλη σε σύνδεση