mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 18, 2023 10:20 am**

: Αμβλεία και ισοσκελές.png (7.87 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Στο $10 \times 3$ ορθογώνιο ABCD

, προεκτείνουμε τις πλευρές AB , AD

κατά τμήματα BS=DP=x

.

α) Βρείτε το

, ώστε : $\widehat{PCS} =135^0$ ... β) Αν

είναι η τομή των BC , SP

, δείξτε ότι : CT=TS

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 19, 2023 12:44 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2023 10:20 am
Αμβλεία και ισοσκελές.pngΣτο $10 \times 3$ ορθογώνιο , προεκτείνουμε τις πλευρές κατά τμήματα .

α) Βρείτε το , ώστε : $\widehat{PCS} =135^0$ ... β) Αν είναι η τομή των , δείξτε ότι : .

α)'Esτω ότι
$\widehat{PCD}=a$ και $\widehat{BCS}=b$ τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο CDP

έχουμε $tan a =\frac{x}{10}$
ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο BCS

έχουμε $tan b =\frac{x}{3}$
Επειδή
$a+b=45^0 \Rightarrow tan(a+b)=1\Rightarrow \frac{tan a+tan b}{1-tan a \cdot tanb}=1$
$\Rightarrow tan a+tanb=1-tana\cdot tanb$
$\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{x}{3}=1-\frac{x^2}{30}\Rightarrow x^2+13x-30=0$
Από τη λύση της οποίας προκύπτει ότι x=2

β) Από την ομοιότητα των τριγώνων BTS

και

είναι

$\frac{TB}{BS}=\frac{AP}{AS}\Rightarrow \frac{TB}{2}=\frac{5}{12}\Rightarrow TB=\frac{5}{6}\Rightarrow CT=\frac{13}{6}$
και από Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο BTS

είναι και $TS=\frac{13}{6}=CT$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 19, 2023 1:38 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2023 10:20 am
Αμβλεία και ισοσκελές.pngΣτο $10 \times 3$ ορθογώνιο , προεκτείνουμε τις πλευρές κατά τμήματα .

α) Βρείτε το , ώστε : $\widehat{PCS} =135^0$ ... β) Αν είναι η τομή των , δείξτε ότι : .

Και αλλιώς για το (α):

Από το τρίγωνο $\displaystyle{PCS}$ έχουμε:

$\displaystyle{PS^2 =CP^2 +CS^2 -2CP.CS . cos135\Rightarrow }$

$\displaystyle{(3+x)^2 +(10+x)^2 =10^2 +x^2 +3^2 +x^2 -2\sqrt{100+x^2}\sqrt{9+x^2}.cos135\Rightarrow}$

$\displaystyle{26x= - 2\sqrt{(100+x^2 )(9+x^2 )}. (-cos45)\Rightarrow 26x=2\sqrt{(100+x^2 )(9+x^2)} .\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο, παίρνουμε:

$\displaystyle{x^4 -229x^2 +900 =0}$

Οπότε $\displaystyle{x=2}$ ή $\displaystyle{x=15}$

Αν ήταν $\displaystyle{x=15}$ , τότε θα ήταν και $\displaystyle{DP>DC , BS>BC}$ και άρα οι γωνίες $\displaystyle{DCP , BCS}$ θα ήταν μεγαλύτερες από $\displaystyle{45^{o}}$

καθεμία και συνεπώς η γωνία $\displaystyle{PCS}$ θα ήταν μεγαλύτερη από $\displaystyle{135^{o}}$ , που είναι άτοπο.

Άρα δεκτή είναι μόνο η τιμή $\displaystyle{x=2}$ .

(β) Έχει ήδη απαντηθεί από τον Νίκο.

mathematica.gr

Αμβλεία και ισοσκελές

Αμβλεία και ισοσκελές

Re: Αμβλεία και ισοσκελές

Re: Αμβλεία και ισοσκελές