Άθροισμα τετραγώνων

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Άθροισμα τετραγώνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μάιος 03, 2023 1:05 pm

  1. Να βρεθεί πολυώνυμο της μορφής \mathrm{P}(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x +\delta \;,\;\alpha \neq 0 τέτοιο ώστε \mathrm{P}(0)=0 και για κάθε x ισχύει

    \displaystyle{\mathrm{P}(x) - \mathrm{P}(x-1) = x^2}
  2. Αξιοποιώντας το παραπάνω να δειχθεί ότι

    \displaystyle{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + \nu^2 = \frac{\nu \left ( \nu+1 \right )\left ( 2\nu+1 \right )}{6}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα τετραγώνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 03, 2023 4:35 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μάιος 03, 2023 1:05 pm
  1. Να βρεθεί πολυώνυμο της μορφής \mathrm{P}(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x +\delta \;,\;\alpha \neq 0 τέτοιο ώστε \mathrm{P}(0)=0 και για κάθε x ισχύει

    \displaystyle{\mathrm{P}(x) - \mathrm{P}(x-1) = x^2}
  2. Αξιοποιώντας το παραπάνω να δειχθεί ότι

    \displaystyle{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + \nu^2 = \frac{\nu \left ( \nu+1 \right )\left ( 2\nu+1 \right )}{6}}
I) \displaystyle P(0) = 0 \Leftrightarrow d = 0

\displaystyle P(x) - P(x - 1) = {x^2} \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx - a{(x - 1)^3} - b{(x - 1)^2} - c(x - 1) = {x^2}

\displaystyle  \Leftrightarrow 3a{x^2} - (3a - 2b)x + (a - b + c) = {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  3a = 1 \hfill \\ 
  3a - 2b = 0 \hfill \\ 
  a - b + c = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{3},b = \frac{1}{2},c = \frac{1}{6}

Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο είναι \boxed{P(x) = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{6}x}

II) Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα είναι:


P(1)-P(0)=1^2
P(2)-P(1)=2^2
P(3)-P(2)=3^2
...........................
P(n)-P(n-1)=n^2

Με πρόσθεση κατά μέλη, \displaystyle {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = P(n) = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6} = \frac{{n(2{n^2} + 3n + 1)}}{6} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15010
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Άθροισμα τετραγώνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 03, 2023 8:14 pm

Στο περίφημο για τους παλιότερους βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα : "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ" , η άσκηση αυτή ,

είναι λυμένη εφαρμογή . Ακολουθώντας παρόμοια μέθοδο μπορούμε να υπολογίσουμε ( είναι άσκηση ! ) , το :

άθροισμα : 1^3+2^3+3^3+....+n^3  , ( n \in \mathbb{N^*} )


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5225
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα τετραγώνων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μάιος 03, 2023 8:21 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 03, 2023 8:14 pm
.... Ακολουθώντας παρόμοια μέθοδο μπορούμε να υπολογίσουμε ( είναι άσκηση ! ) , το :

άθροισμα : 1^3+2^3+3^3+....+n^3  , ( n \in \mathbb{N^*} )
Θανάση,

στις σημειώσεις μου την έχω άλυτη. Ας τη δούμε;
  1. Να δειχθεί ότι x^2\left ( x+1 \right )^2 - x^2 \left ( x-1 \right )^2 = 4x^3.
  2. Αξιοποιώντας το παραπάνω να δειχθεί ότι

    \displaystyle{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + \nu^3 = \frac{\nu^2 \left ( \nu+1 \right )^2}{4}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα τετραγώνων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 04, 2023 9:49 am

Όταν ήμουν μαθητής αυτά τα αντιμετωπίζαμε με τη μέθοδο της τελείας επαγωγής που, ως δια μαγείας, εξαφανίστηκε

από την ύλη. Τώρα όσον αφορά σε μικρότερες τάξεις, χρησιμοποιούσαμε μία άλλη μέθοδο. Για παράδειγμα:

I) \displaystyle 1 + 2 + 3 + .... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}..... II) \displaystyle {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

I)
2^2=(1+1)^2=1^2+2\cdot 1+1
3^2=(2+1)^2=2^2+2\cdot 2+1
4^2=(3+1)^2=3^2+2\cdot 3+1
...............................................
(n+1)^2=n^2+2n+1

Και με πρόσθεση κατά μέλη, \displaystyle {(n + 1)^2} = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n + 1 \Leftrightarrow \boxed{1 + 2 + 3 + .... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}}

II) Ομοίως χρησιμοποιούμε την ταυτότητα \displaystyle {(x + 1)^3} = {x^3} + 3{x^2} +3x + 1, για x=1,2,3,...,n

και με πρόσθεση κατά μέλη καταλήγουμε στην ταυτότητα:

\displaystyle {(n + 1)^3} = 3({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}) + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n + 1

και χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του (I) ερωτήματος, φτάνουμε στη ζητούμενη σχέση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης