Κανείς ακέραιος

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κανείς ακέραιος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 22, 2023 2:00 pm

Το πολυώνυμο : P(x)=27x^4-90x^2-20x+48 , δεν έχει ακέραιες ρίζες .

Χρησιμοποιήστε άλλες αλγεβρικές γνώσεις για να βρείτε τις τέσσερις ρίζες του .



Λέξεις Κλειδιά:
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Κανείς ακέραιος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιαν 22, 2023 5:54 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 22, 2023 2:00 pm
Το πολυώνυμο : P(x)=27x^4-90x^2-20x+48 , δεν έχει ακέραιες ρίζες .

Χρησιμοποιήστε άλλες αλγεβρικές γνώσεις για να βρείτε τις τέσσερις ρίζες του .
48={{(-4)}^{2}}\cdot 3, 27={{3}^{3}}. Πρώτοι μεταξύ τους (-4,\,\,3). Έχουμε f\left(\displaystyle\ -\frac{4}{3} \right)=0

Είναι: \displaystyle\frac{3\cdot (27{{x}^{4}}-90{{x}^{2}}-20x+48)}{3x+4}=27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36. Και 36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3, 27={{3}^{3}}.

Πρώτοι μεταξύ τους (2,\,\,3). Αν g(x)=27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36, τότε g\left( \displaystyle\frac{2}{3} \right)=0.

\displaystyle\frac{3\cdot (27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36)}{3x-2}=27{{x}^{2}}-18x-54.

\Delta ={{(-18)}^{2}}-4\cdot 27\cdot (-54)=6156=324\cdot 19={{18}^{2}}\cdot 19.

{{x}_{1}}=\displaystyle\frac{18+18\sqrt{19}}{54}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{19}}{3} και {{x}_{2}}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{19}}{3}.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κανείς ακέραιος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 24, 2023 7:42 pm

Ορέστη , ΟΚ , αλλά αναζητούσα λύση στηριζόμενη στη θεωρία του σχολικού βιβλίου .

Αντί να γράψω λύση , ας δώσω μια υπόδειξη : Πολλαπλασιάζοντας επί 3 , η εξίσωση

γίνεται : 81x^4-270x^2-60x+144=0 , η οποία επιδέχεται επεξεργασία ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κανείς ακέραιος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 26, 2023 10:23 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 7:42 pm
Ορέστη , ΟΚ , αλλά αναζητούσα λύση στηριζόμενη στη θεωρία του σχολικού βιβλίου .

Αντί να γράψω λύση , ας δώσω μια υπόδειξη : Πολλαπλασιάζοντας επί 3 , η εξίσωση

γίνεται : 81x^4-270x^2-60x+144=0 , η οποία επιδέχεται επεξεργασία ...
Συνεχίζω από εδώ.

\displaystyle 81{x^4} - 270{x^2} - 60x + 400 - 256 = 0

\displaystyle {\left( {9{x^2}} \right)^2} - {16^2} - 10\left( {27{x^2} + 6x - 40} \right) = 0

\displaystyle (3x + 4)(3x - 4)\left( {9{x^2} + 16} \right) - 10(3x + 4)(9x - 10) = 0

\displaystyle (3x + 4)(27{x^3} - 36{x^2} - 42x + 44 - 8) = 0

\displaystyle (3x + 4)\left[ {{{(3x)}^3} - {2^3} - 2(18{x^2} + 21x - 22)} \right] = 0

\displaystyle (3x + 4)\left[ {(3x - 2)\left( {9{x^2} + 6x + 4} \right) - 2(3x - 2)(6x + 11)} \right]

\displaystyle 3(3x + 4)(3x - 2)(3{x^2} - 2x - 6) = 0

Άρα, \boxed{x =  - \frac{4}{3} \vee x = \frac{2}{3} \vee x = \frac{{1 \pm \sqrt {19} }}{3}}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Κανείς ακέραιος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Ιαν 26, 2023 2:56 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 7:42 pm
Ορέστη , ΟΚ , αλλά αναζητούσα λύση στηριζόμενη στη θεωρία του σχολικού βιβλίου .

Αντί να γράψω λύση , ας δώσω μια υπόδειξη : Πολλαπλασιάζοντας επί 3 , η εξίσωση

γίνεται : 81x^4-270x^2-60x+144=0 , η οποία επιδέχεται επεξεργασία ...
Είναι P(x)=0\Leftrightarrow 3P(x)=0\Leftrightarrow 81{{x}^{4}}-270{{x}^{2}}-60x+144=0\Leftrightarrow

81{{x}^{4}}-\left( 126+144 \right){{x}^{2}}-\left( 168-108 \right)x+144=0\Leftrightarrow

81{{x}^{4}}+108{{x}^{3}}-108{{x}^{3}}-\left( 126+144 \right){{x}^{2}}-\left( 168-108 \right)x+144=0\Leftrightarrow

\left( 81{{x}^{4}}+108{{x}^{3}} \right)-\left( 108{{x}^{3}}+144{{x}^{2}} \right)-\left( 126{{x}^{2}}+168x \right)+\left( 108x+144 \right)=0\Leftrightarrow

27{{x}^{3}}\left( 3x+4 \right)-36{{x}^{2}}\left( 3x+4 \right)-42x\left( 3x+4 \right)+36\left( 3x+4 \right)=0\Leftrightarrow

\left( 3x+4 \right)\left( 27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36 \right)=0\Leftrightarrow \left( 3x+4=0\,\,\,\vee \,\,\,27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36=0 \right).

Θέτουμε Q(x)=27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36, οπότε Q(x)=0\Leftrightarrow 3Q(x)=0\Leftrightarrow

81{{x}^{3}}-108{{x}^{2}}-126x+108=0\Leftrightarrow 81{{x}^{3}}-\left( 54+54 \right){{x}^{2}}-\left( 162-36 \right)x+108=0\Leftrightarrow

\left( 81{{x}^{3}}-54{{x}^{2}} \right)-\left( 54{{x}^{2}}-36x \right)-\left( 162x-108 \right)=0\Leftrightarrow

27{{x}^{2}}\left( 3x-2 \right)-18x\left( 3x-2 \right)-54\left( 3x-2 \right)=0\Leftrightarrow

\left( 3x-2 \right)\left( 27{{x}^{2}}-18x-54 \right)=0\Leftrightarrow \left( 3x-2=0\,\,\,\vee \,\,\,27{{x}^{2}}-18x-54=0 \right).

Άρα x=-\displaystyle\frac{4}{3}\,\,\,\vee \,\,\,x=\frac{2}{3} και από τη δευτεροβάθμια x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{19}}{3}\,\,\,\vee \,\,\,x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}.

Ελπίζω να έχω κάνει σωστά τις πράξεις.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κανείς ακέραιος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 27, 2023 6:45 pm

Γιώργο και Ορέστη , να είστε καλά ! Η σκέψη του προτείναντος :

81x^4-270x^2-60x+144=0\Leftrightarrow

 81x^4-234x^2+169 -36x^2-60x-25=0 \Leftrightarrow

(9x^2-13)^2-(6x+5)^2=0\Leftrightarrow

(9x^2+6x-8)(9x^2-6x-18)=0 ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης