Κανείς ακέραιος

KARKAR · #1

Το πολυώνυμο : P(x)=27x^4-90x^2-20x+48

, δεν έχει ακέραιες ρίζες .

Χρησιμοποιήστε άλλες αλγεβρικές γνώσεις για να βρείτε τις τέσσερις ρίζες του .

orestisgotsis · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 22, 2023 2:00 pm
Το πολυώνυμο : , δεν έχει ακέραιες ρίζες .

Χρησιμοποιήστε άλλες αλγεβρικές γνώσεις για να βρείτε τις τέσσερις ρίζες του .

$48={{(-4)}^{2}}\cdot 3$ , $27={{3}^{3}}$ . Πρώτοι μεταξύ τους $(-4,\,\,3)$ . Έχουμε $f\left(\displaystyle\ -\frac{4}{3} \right)=0$

Είναι: $\displaystyle\frac{3\cdot (27{{x}^{4}}-90{{x}^{2}}-20x+48)}{3x+4}=27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36$ . Και $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$ , $27={{3}^{3}}$ .

Πρώτοι μεταξύ τους $(2,\,\,3)$ . Αν $g(x)=27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36$ , τότε $g\left( \displaystyle\frac{2}{3} \right)=0$ .

$\displaystyle\frac{3\cdot (27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36)}{3x-2}=27{{x}^{2}}-18x-54$ .

$\Delta ={{(-18)}^{2}}-4\cdot 27\cdot (-54)=6156=324\cdot 19={{18}^{2}}\cdot 19$ .

${{x}_{1}}=\displaystyle\frac{18+18\sqrt{19}}{54}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{19}}{3}$ και ${{x}_{2}}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{19}}{3}$ .

KARKAR · #3

Ορέστη , ΟΚ , αλλά αναζητούσα λύση στηριζόμενη στη θεωρία του σχολικού βιβλίου .

Αντί να γράψω λύση , ας δώσω μια υπόδειξη : Πολλαπλασιάζοντας επί

, η εξίσωση

γίνεται : 81x^4-270x^2-60x+144=0

, η οποία επιδέχεται επεξεργασία ...

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 24, 2023 7:42 pm
Ορέστη , ΟΚ , αλλά αναζητούσα λύση στηριζόμενη στη θεωρία του σχολικού βιβλίου .

Αντί να γράψω λύση , ας δώσω μια υπόδειξη : Πολλαπλασιάζοντας επί , η εξίσωση

γίνεται : , η οποία επιδέχεται επεξεργασία ...

Συνεχίζω από εδώ.

$\displaystyle 81{x^4} - 270{x^2} - 60x + 400 - 256 = 0$

$\displaystyle {\left( {9{x^2}} \right)^2} - {16^2} - 10\left( {27{x^2} + 6x - 40} \right) = 0$

$\displaystyle (3x + 4)(3x - 4)\left( {9{x^2} + 16} \right) - 10(3x + 4)(9x - 10) = 0$

$\displaystyle (3x + 4)(27{x^3} - 36{x^2} - 42x + 44 - 8) = 0$

$\displaystyle (3x + 4)\left[ {{{(3x)}^3} - {2^3} - 2(18{x^2} + 21x - 22)} \right] = 0$

$\displaystyle (3x + 4)\left[ {(3x - 2)\left( {9{x^2} + 6x + 4} \right) - 2(3x - 2)(6x + 11)} \right]$

$\displaystyle 3(3x + 4)(3x - 2)(3{x^2} - 2x - 6) = 0$

Άρα, $\boxed{x = - \frac{4}{3} \vee x = \frac{2}{3} \vee x = \frac{{1 \pm \sqrt {19} }}{3}}$

orestisgotsis · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 24, 2023 7:42 pm
Ορέστη , ΟΚ , αλλά αναζητούσα λύση στηριζόμενη στη θεωρία του σχολικού βιβλίου .

Αντί να γράψω λύση , ας δώσω μια υπόδειξη : Πολλαπλασιάζοντας επί , η εξίσωση

γίνεται : , η οποία επιδέχεται επεξεργασία ...

Είναι $P(x)=0\Leftrightarrow 3P(x)=0\Leftrightarrow 81{{x}^{4}}-270{{x}^{2}}-60x+144=0\Leftrightarrow$

$81{{x}^{4}}-\left( 126+144 \right){{x}^{2}}-\left( 168-108 \right)x+144=0\Leftrightarrow$

$81{{x}^{4}}+108{{x}^{3}}-108{{x}^{3}}-\left( 126+144 \right){{x}^{2}}-\left( 168-108 \right)x+144=0\Leftrightarrow$

$\left( 81{{x}^{4}}+108{{x}^{3}} \right)-\left( 108{{x}^{3}}+144{{x}^{2}} \right)-\left( 126{{x}^{2}}+168x \right)+\left( 108x+144 \right)=0\Leftrightarrow$

$27{{x}^{3}}\left( 3x+4 \right)-36{{x}^{2}}\left( 3x+4 \right)-42x\left( 3x+4 \right)+36\left( 3x+4 \right)=0\Leftrightarrow$

$\left( 3x+4 \right)\left( 27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36 \right)=0\Leftrightarrow \left( 3x+4=0\,\,\,\vee \,\,\,27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36=0 \right)$ .

Θέτουμε $Q(x)=27{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-42x+36$ , οπότε $Q(x)=0\Leftrightarrow 3Q(x)=0\Leftrightarrow$

$81{{x}^{3}}-108{{x}^{2}}-126x+108=0\Leftrightarrow 81{{x}^{3}}-\left( 54+54 \right){{x}^{2}}-\left( 162-36 \right)x+108=0\Leftrightarrow$

$\left( 81{{x}^{3}}-54{{x}^{2}} \right)-\left( 54{{x}^{2}}-36x \right)-\left( 162x-108 \right)=0\Leftrightarrow$

$27{{x}^{2}}\left( 3x-2 \right)-18x\left( 3x-2 \right)-54\left( 3x-2 \right)=0\Leftrightarrow$

$\left( 3x-2 \right)\left( 27{{x}^{2}}-18x-54 \right)=0\Leftrightarrow \left( 3x-2=0\,\,\,\vee \,\,\,27{{x}^{2}}-18x-54=0 \right)$ .

Άρα $x=-\displaystyle\frac{4}{3}\,\,\,\vee \,\,\,x=\frac{2}{3}$ και από τη δευτεροβάθμια $x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{19}}{3}\,\,\,\vee \,\,\,x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$ .

Ελπίζω να έχω κάνει σωστά τις πράξεις.

KARKAR · #6

Γιώργο και Ορέστη , να είστε καλά ! Η σκέψη του προτείναντος :

$81x^4-270x^2-60x+144=0\Leftrightarrow$

$81x^4-234x^2+169 -36x^2-60x-25=0 \Leftrightarrow$

$(9x^2-13)^2-(6x+5)^2=0\Leftrightarrow$

(9x^2+6x-8)(9x^2-6x-18)=0 ...

Κανείς ακέραιος

Κανείς ακέραιος

Re: Κανείς ακέραιος

Re: Κανείς ακέραιος

Re: Κανείς ακέραιος

Re: Κανείς ακέραιος

Re: Κανείς ακέραιος

Μέλη σε σύνδεση