ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

orestisgotsis · #1

Περιττό

#2

Οι ρίζες του τριωνύμου $\displaystyle{x^2 -4x+3}$ είναι $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{3}$ .
Από την υπόθεση και για $\displaystyle{x=1}$ παίρνουμε : $\displaystyle{|A(1)|+|B(1)|=0\Rightarrow A(1)=B(1)=0}$
Ομοίως για $\displaystyle{x=3}$ παίρνουμε $\displaystyle{A(3)=B(3)=0}$ .
Άρα :
$\displaystyle{a_1 +b_1 +c_1 =0}$
$\displaystyle{a_2 +b_2 +c_2 =0}$
$\displaystyle{9a_1 +3b_1 +c_1 =0}$
$\displaystyle{9a_2 +3b_2 +c_2 =0}$

Άρα $\displaystyle{c_1 = -a_1 -b_1 }$ , (ΣΧΕΣΗ 1) και $\displaystyle{c_2 = -a_2 -c_2 }$ , (ΣΧΕΣΗ 2)

Επίσης:

$\displaystyle{9a_1 +b_1 -a_1 -b_1 =0}$
$\displaystyle{9a_2 +b_2 -a_2 -c_2 =0}$

Άρα

$\displaystyle{a_1 = - \frac{b_1}{4}}$ και $\displaystyle{a_2 = - \frac{b_2}{4}}$

Και άρα $\displaystyle{|a_1|+|a_2|=\frac{|b_1|+|b_2|}{4}}$ , (ΣΧΕΣΗ 3)

Τώρα από την υπόθεση για $\displaystyle{x=-1}$ παίρνουμε:

$\displaystyle{|A(-1)|+|B(-1)|=8 \Rightarrow |a_1 -b_1 +c_1|+|a_2 -b_2 +c_2|=8}$

και λόγω των σχέσεων (1) και (2) παίρνουμε:

$\displaystyle{|a_1 -b_1 -a_1 -b_1 |+|a_2 -b_2 -a_2 -b_2 |=8 \Rightarrow |2b_1 |+|b_2 |=8 \Rightarrow |b_1 |+|b_2 |= 4}$

Έτσι η σχέση (3) δίνει: $\displaystyle{|a_1 |+|a_2 |=\frac{4}{4} =1}$

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 24, 2022 7:16 am
Έστω $A(x)={{\alpha }_{1}}{{x}^{2}}+{{\beta }_{1}}x+{{\gamma }_{1}}$ και $B(x)={{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\beta }_{2}}x+{{\gamma }_{2}}$ τριώνυμα δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές, τέτοια ώστε να είναι:
$|\,A(x)\,|+|\,B(x)\,|\,\,=\,\,|\,{{x}^{2}}-4x+3\,|$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle |\,{{\alpha }_{1}}\,|+|\,{{\alpha }_{2}}\,|$ .