Maximum

mick7 · #1

Ποια είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο γράφημα (η μπλε κουκίδα δηλαδή...)
ΥΓ...Με αλγεβρικά εργαλεία κατα προτίμηση...

#2

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 20, 2022 8:26 pm
Ποια είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο γράφημα (η μπλε κουκίδα δηλαδή...)
ΥΓ...Με αλγεβρικά εργαλεία κατα προτίμηση...

$\displaystyle{\dfrac {1}{x-\sqrt x + 1} =\dfrac {1}{\left (\sqrt x- \dfrac {1}{2} \right )^2 + \dfrac {3}{4}} \le \dfrac {1}{ \frac {3}{4}} = \dfrac {4}{3} }$ με ισότητα όταν x=1/4

#3

Kαλησπέρα.

2η αλγεβρική λύση (με επιφοίτηση)(*):

Για $\displaystyle x \ge 0$ , είναι $\displaystyle p\left( x \right) = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\sqrt x }^3} + 1}} \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow 4{\sqrt x ^3} - 3\sqrt x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right){\left( {2\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0$ , που ισχύει με το ίσον όταν $\displaystyle x = \frac{1}{4}$ .

3η αλγεβρική λύση:

Για $\displaystyle x \ge 0$ , έστω $\displaystyle \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}} = m > 0$ . Θέτω $\displaystyle y = \sqrt x$ , οπότε, θέλουμε η εξίσωση $\displaystyle {y^2} - y + 1 - \frac{1}{m} = 0$ να έχει λύση στο

, οπότε $\displaystyle D \ge 0 \Leftrightarrow \frac{4}{m} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{4}{m} \ge 3 \Leftrightarrow m \le \frac{4}{3}$ ,

με το ίσον όταν $\displaystyle y = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

(*) Κρυφοκοίταξα την λύση του Μιχάλη.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 20, 2022 8:26 pm
Ποια είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο γράφημα (η μπλε κουκίδα δηλαδή...)
ΥΓ...Με αλγεβρικά εργαλεία κατα προτίμηση...

Το τριώνυμο $(\sqrt{x})^2- \sqrt{x} +1$ γίνεται ελάχιστο για $\sqrt{x}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow x= \dfrac{1}{4}$

Άρα $p( \dfrac{1}{4})= \dfrac{4}{3}$ η μέγιστη τιμή της

Maximum

Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Re: Maximum

Μέλη σε σύνδεση