Ισοδύναμες εξισώσεις;;

#1

Να εξεταστεί αν οι εξισώσεις 2x^6=2x+1, 2x^5=2x+1

είναι ισοδύναμες στο (-1, 1).

Al.Koutsouridis · #2

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 13, 2022 1:13 pm
Να εξεταστεί αν οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες στο (-1, 1).

Από το θεώρημα Bolzano στο διάστημα (-1,1)

για τις συναρτήσεις f(x)=2x^6-2x-1

και

, παρατηρούμε ότι έχουν σημεία μηδενισμού στο διάστημα (-1,1)

. Έστω $x_{0}$ ένα από αυτά. Για να είναι ισοδύναμες οι εξισώσεις θα πρέπει το $x_{0}$ να επαληθεύει και τις δυο εξισώσεις. Δηλαδή να ισχύει

$2x_{0}^6-2x_{0}-1 = 2x_{0}^5 -2x_{0}-1 \Rightarrow \ x_{0}^5(x_{0}-1) = 0 \Rightarrow$ $x_{0}=0$ ή $x_{0}=1$

το $x_{0}=1$ είναι εκτός του διαστήματος (-1,1)

και το $x_{0}=0$ δεν επαληθεύει τις εξισώσεις. Άρα οι εξισώσεις δεν είναι ισοδύναμες.

Εδώ να σημειώσω, ότι μου είναι δύσκολο να δικαιολογήσω την ύπαρξη ριζών χωρίς το θεώρημα Bolzano.

Αν οι εξισώσεις ήταν 2x^6=2x^2+1

και

, τότε μπορούμε να δείξουμε πιο εύκολα στα πλαίσια του φακέλου, ότι είναι ισοδύναμες στο διάστημα (-1,1)

.

Ισοδύναμες εξισώσεις;;

Ισοδύναμες εξισώσεις;;

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις;;

Μέλη σε σύνδεση