Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1530
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Αύγ 03, 2022 2:44 pm

Για ποιές τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση

\log_{\frac{1}{\pi}} \left ( \dfrac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2 -2(a-2\pi)|x-2|+4\pi a} \right ) - \sqrt{\left (x-5a+10\pi-34 \right )\left ( |\pi -x| -a+\pi+2 \right )} = 0

έχει τουλάχιστον μια ακέραια λύση.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνιτικής, Μόσχα 1989.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Αύγ 04, 2022 6:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Πέμ Αύγ 04, 2022 1:57 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Αύγ 03, 2022 2:44 pm
Για ποιές τιμές της παραμέτρου a η εξίσωση

\log_{\frac{1}{\pi}} \left ( \dfrac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2 -2(a-2\pi)|x-2|+4\pi a} \right ) - \sqrt{\left (x-5a+10\pi-34 \right )\left ( |\pi -x| -a+\pi+2 \right )} = 0

έχει τουλάχιστον μια ακέραια λύση.
Πρέπει ο λογάριθμος να είναι μη αρνητικός, οπότε αφού η βάση του είναι μικρότερη της μονάδος, το εσωτερικό του είναι >0 και \leq1.

Έτσι, \left ( \dfrac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2 -2(a-2\pi)|x-2|+4\pi a} \right )\leq1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις για το απόλυτο:

α) Για x\geq2 έχουμε:

a^2+4{\pi}^2+4\leq4x-x^2-2ax+4a+4\pi x-8\pi +4\pi a\Leftrightarrow (2\pi -x-a+2)^2\leq0\Leftrightarrow 2\pi -x-a+2=0

Επομένως, αφού μηδενίζεται ο λογάριθμος θα πρέπει να μηδενιστεί και η ρίζα, δηλαδή:

x-5a+10\pi -34=0 \,\,\,\,\vee \,\,\,\, \left | \pi-x \right |-a+\pi +2=0

Οπότε προκύπτουν τα αντίστοιχα συστήματα:

1) \left\{\begin{matrix} 2\pi-x-a+2=0 & \\ x-5a+10\pi-34=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\dfrac{6\pi-16}{3}\,\,,\,\,\,\,x=\dfrac{22}{3}\notin\mathbb{Z}

Για x<\pi είναι:

2) \left\{\begin{matrix} 2\pi -x-a+2=0\\ \pi -x-a+\pi+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ao\rho \imath \sigma \tau o

Οπότε, επειδή 2\leq x<\pi παίρνουμε τις λύσεις:
x=2 για a=2\pi
x=3 για a=2\pi -1

Για x\geq\pi είναι:

3) \left\{\begin{matrix} 2\pi -x-a+2=0 \\x-\pi-a+\pi+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\pi+2\,\,,\,\,\,\ x=\pi \notin\mathbb{Z}


β) Για x<2 έχουμε:

a^2+4{\pi}^2+4+x^2-4x+4a-2ax-8\pi+4\pi x-4\pi a\leq0\Leftrightarrow (2\pi+x-a-2)^2\leq0\Leftrightarrow 2\pi+x-a-2=0

Οπότε ομοίως προκύπτουν αντίστοιχα συστήματα:

1) \left\{\begin{matrix} 2\pi +x-a-2=0\\ \pi-x-a+\pi+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=2\pi\,\,,\,\,\,x=2\nless 2

2) \left\{\begin{matrix} 2\pi+x-a-2=0\\ x-5a+10\pi-34=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=2\pi -8\,\,,\,\,\,x=-6

Επομένως, συνολικά έχουμε τις λύσεις:

a=2\pi\,,\,\,x=2

a=2\pi -1\,,\,\,x=3

a=2\pi -8\,,\,\,x=-6


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1530
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Αύγ 04, 2022 10:10 am

:coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης