Παραμετρική ανίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1531
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρική ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιούλ 02, 2022 2:04 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

\dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{x-2a} \leq \dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x-2a+4}

έχει ακριβώς δυο λύσεις.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Παραμετρική ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Κυρ Ιούλ 03, 2022 4:15 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 02, 2022 2:04 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

\dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{x-2a} \leq \dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x-2a+4}

έχει ακριβώς δυο λύσεις.
Η ανίσωση γράφεται: \sqrt{6+x-x^{2}}\left ( \dfrac{1}{2x-2a+4} -\dfrac{1}{x-2a}\right )\geq 0

Περιορισμός για τη ρίζα: 6+x-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x-3)(x+2)\leq 0\Leftrightarrow x \in\left [-2,3 \right ]

Προφανείς ρίζες της ανίσωσης είναι: x=-2 ή x=3 , για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Άρα, για να είναι μοναδικές θα πρέπει η παρένθεση να είναι αρνητική, δηλαδή:

\dfrac{1}{2x-2a+4}-\dfrac{1}{x-2a}<0\Leftrightarrow \dfrac{x-2a-2x+2a-4}{2 (x-a+2)(x-2a)}<0

Γίνεται: 2(x+4)(x-a+2)(x-2a)>0\Rightarrow (x-a+2)(x-2a)>0 , διότι: x+4>0 λόγω του περιορισμού.

Με πίνακα προσήμων, βρίσκουμε ότι το παραπάνω γινόμενο είναι αρνητικό όταν: x \in (a-2,2a)

Οπότε πρέπει: 2a=a-2\Leftrightarrow a=-2 , ώστε το γινόμενο να είναι θετικό (όπως θέλαμε) ή μηδέν. Η διπλή ρίζα που προκύπτει εδώ είναι η x=-4 που απορρίπτεται.

Επομένως, η ανίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις για \boxed{a=-2}


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1531
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Ιούλ 03, 2022 5:22 pm

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε:
Κυρ Ιούλ 03, 2022 4:15 pm

Η ανίσωση γράφεται: \sqrt{6+x-x^{2}}\left ( \dfrac{1}{2x-2a+4} -\dfrac{1}{x-2a}\right )\geq 0

Περιορισμός για τη ρίζα: 6+x-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x-3)(x+2)\leq 0\Leftrightarrow x \in\left [-2,3 \right ]

Προφανείς ρίζες της ανίσωσης είναι: x=-2 ή x=3 , για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Άρα, για να είναι μοναδικές θα πρέπει η παρένθεση να είναι αρνητική, δηλαδή:

\dfrac{1}{2x-2a+4}-\dfrac{1}{x-2a}<0\Leftrightarrow \dfrac{x-2a-2x+2a-4}{2 (x-a+2)(x-2a)}<0

Γίνεται: 2(x+4)(x-a+2)(x-2a)>0\Rightarrow (x-a+2)(x-2a)>0 , διότι: x+4>0 λόγω του περιορισμού.

Με πίνακα προσήμων, βρίσκουμε ότι το παραπάνω γινόμενο είναι αρνητικό όταν: x \in (a-2,2a)

Οπότε πρέπει: 2a=a-2\Leftrightarrow a=-2 , ώστε το γινόμενο να είναι θετικό (όπως θέλαμε) ή μηδέν. Η διπλή ρίζα που προκύπτει εδώ είναι η x=-4 που απορρίπτεται.

Επομένως, η ανίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις για \boxed{a=-2}
Ευχαριστούμε για τις λύσεις και το χρόνο σου! Λίγο προσοχή στην κατάστρωση των ισοδύναμων ανισώσεων και εξισώσεων που χρειάζονται για τη λύση της άσκησης. Υπάρχουν και αλλες τιμές της παραμέτρου a που την ικανοποιούν.


Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Παραμετρική ανίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Κυρ Ιούλ 03, 2022 5:40 pm

Ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση, θα προσπαθήσω να το διορθώσω.


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Παραμετρική ανίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Κυρ Ιούλ 03, 2022 7:51 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 03, 2022 5:22 pm
Maria-Eleni Nikolaou έγραψε:
Κυρ Ιούλ 03, 2022 4:15 pm

Η ανίσωση γράφεται: \sqrt{6+x-x^{2}}\left ( \dfrac{1}{2x-2a+4} -\dfrac{1}{x-2a}\right )\geq 0

Περιορισμός για τη ρίζα: 6+x-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x-3)(x+2)\leq 0\Leftrightarrow x \in\left [-2,3 \right ]

Προφανείς ρίζες της ανίσωσης είναι: x=-2 ή x=3 , για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Άρα, για να είναι μοναδικές θα πρέπει η παρένθεση να είναι αρνητική, δηλαδή:

\dfrac{1}{2x-2a+4}-\dfrac{1}{x-2a}<0\Leftrightarrow \dfrac{x-2a-2x+2a-4}{2 (x-a+2)(x-2a)}<0

Γίνεται: 2(x+4)(x-a+2)(x-2a)>0\Rightarrow (x-a+2)(x-2a)>0 , διότι: x+4>0 λόγω του περιορισμού.

Με πίνακα προσήμων, βρίσκουμε ότι το παραπάνω γινόμενο είναι αρνητικό όταν: x \in (a-2,2a)

Οπότε πρέπει: 2a=a-2\Leftrightarrow a=-2 , ώστε το γινόμενο να είναι θετικό (όπως θέλαμε) ή μηδέν. Η διπλή ρίζα που προκύπτει εδώ είναι η x=-4 που απορρίπτεται.

Επομένως, η ανίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις για \boxed{a=-2}
Ευχαριστούμε για τις λύσεις και το χρόνο σου! Λίγο προσοχή στην κατάστρωση των ισοδύναμων ανισώσεων και εξισώσεων που χρειάζονται για τη λύση της άσκησης. Υπάρχουν και αλλες τιμές της παραμέτρου a που την ικανοποιούν.
Δύο περιπτώσεις που δεν έλαβα υπόψη:

1) a>5 που προκύπτει αν: a-2>3\Leftrightarrow a>5 δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο (x-a+2)(x-2a) είναι μεγαλύτερες του 3 και το πρόσημο στο (-2,3) είναι θετικό.

2) a<-1 που προκύπτει αν: 2a<-2\Leftrightarrow a<-1 δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο (x-a+2)(x-2a) είναι μικρότερες του -2 και το πρόσημο στο (-2,3) είναι θετικό.

Η δεύτερη περίπτωση καλύπτει και την τιμή της παραμέτρου που βρήκα παραπάνω.

Δεν γράφω ολόκληρη τη διερεύνηση, αλλά μόνο τα κομμάτια που δίνουν λύσεις. Πολύ πιθανό να μου διέφυγαν κάποιες δυνατές τιμές.


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1531
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική ανίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Ιούλ 03, 2022 8:12 pm

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε:
Κυρ Ιούλ 03, 2022 7:51 pm

Δύο περιπτώσεις που δεν έλαβα υπόψη:

1) a>5 που προκύπτει αν: a-2>3\Leftrightarrow a>5 δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο (x-a+2)(x-2a) είναι μεγαλύτερες του 3 και το πρόσημο στο (-2,3) είναι θετικό.

2) a<-1 που προκύπτει αν: 2a<-2\Leftrightarrow a<-1 δηλαδή οι τιμές που μηδενίζουν το γινόμενο (x-a+2)(x-2a) είναι μικρότερες του -2 και το πρόσημο στο (-2,3) είναι θετικό.

Η δεύτερη περίπτωση καλύπτει και την τιμή της παραμέτρου που βρήκα παραπάνω.

Δεν γράφω ολόκληρη τη διερεύνηση, αλλά μόνο τα κομμάτια που δίνουν λύσεις. Πολύ πιθανό να μου διέφυγαν κάποιες δυνατές τιμές.
:coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες