Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 14, 2022 8:37 pm

Σημείο  που δημιουργεί  διχοτόμο.png
Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο.png (10.06 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
\bigstar Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=8 του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα TO .



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4373
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Ιαν 15, 2022 6:54 pm

Από το θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο \displaystyle{STM} έχουμε: \displaystyle{\frac{TO}{2}=\frac{ST}{SM}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{ST}{SM}\Rightarrow}

\displaystyle{SM=\frac{2ST}{x}}. (1) .

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \displaystyle{STO} έχουμε: \displaystyle{ST^2 =16-x^2} (2)

Από το θεώρημα διαμέσου στο τρίγωνο \displaystyle{SOB} έχουμε: \displaystyle{16+SB^2 =2.SM^2 +8\Rightarrow SB^2 = 2.SM^2 -8}.(3)

Φέρνοντας τις \displaystyle{SA , SB} , από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \displaystyle{AST έχουμε: \displaystyle{ SA^2 = ST^2 +(4-x)^2 } (4)

και από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \displaystyle{ASB} έχουμε: \displaystyle{ SB^2 +SA^2 =64}(5)

Η (5) λόγω των (1), (2) , (3) και (4) δίνει την εξίσωση: \displaystyle{x^3 +6x^2 -16 =0} και με το σχήμα του HORNER παίρνουμε:

\displaystyle{(x+2)(x^2 +4x -8) = 0}{ και άρα \displaystyle{x=2(\sqrt{3}-1)}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1606
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιαν 15, 2022 8:54 pm

Λίγο διαφορετικά
Έστω \displaystyle TO = x
Τα τρίγωνα \displaystyle SOT,SOM έχουν ίσα ύψη , άρα \displaystyle \frac{{\left( {SOT} \right)}}{{\left( {SOM} \right)}} = \frac{x}{2}
Επίσης έχουν ίσες γωνίες στο \displaystyle S , άρα
\displaystyle \frac{{\left( {SOT} \right)}}{{\left( {SOM} \right)}} = \frac{{ST \cdot SO}}{{SO \cdot SM}} = \frac{{ST}}{{SM}} = \frac{{\sqrt {16 - {x^2}} }}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 16 - {x^2}} }}
Επομένως
\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt {16 - {x^2}} }}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 16 - {x^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{16 - {x^2}}}{{{{(x + 2)}^2} + 16 - {x^2}}}
Μετά καταλήγουμε στην τριτοβάθμια, όπως στην προηγούμενη δημοσίευση


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8368
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 15, 2022 9:48 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 8:37 pm
Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο.png\bigstar Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=8 του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα TO .
Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο S είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο του \vartriangle STM.

Ας είναι E το σημείο τομής της εφαπτομένης αυτής με τη ευθεία BA.

Αν θέσω OT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = y από την αρμονική αναλογία και το Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle SEO έχω:
Σημείο που διμηουργεί διχοτόμο.png
Σημείο που διμηουργεί διχοτόμο.png (15.76 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{OT}}{{OM}} = \frac{{ET}}{{EM}} \hfill \\ 
  S{O^2} = OT \cdot OE \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{2} = \frac{{y + \left( {4 - x} \right)}}{{y + 6}} \hfill \\ 
  16 = x\left( {y + 4} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  2y + 8 = xy + 8x\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 
  16 = xy + 4x\,\,\left( 2 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Η \left( 1 \right) λόγω της \left( 2 \right) δίδει: 2y + 8 = 16 - 4x + 8x \Rightarrow y = 2x + 4 και αντικαθιστώ στην \left( 2 \right) οπότε:

16 = x\left( {2x + 4} \right) + 4x \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 8 = 0 , άρα \boxed{x = 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 16, 2022 8:42 am

Ευχαριστώ τους τρεις λύτες για τις σωστές τους λύσεις . Η άσκηση όμως , τοποθετήθηκε στον φάκελο

της Άλγεβρας . Επιπλέον χρησιμοποιήθηκαν θεωρήματα , ήδη εκτός ύλης . Η δική μου λύση στηρίζεται

στον τύπο : \tan 2\theta=\dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2\theta} , που ανήκει στην ( σχολική ) Άλγεβρα , αλλά είναι κι αυτός εκτός ύλης :mrgreen:
Σημείο  που δημιουργεί  διχοτόμο.png
Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
Είναι λοιπόν : \dfrac{x+2}{y}=\dfrac{\dfrac{2x}{y}}{1-\dfrac{x^2}{y^2}} \Leftrightarrow 2xy^2=(x+2)(y^2-x^2)

η οποία λόγω του : y^2=16-x^2 , καταλήγει στην : x^2+4x-8=0 ,

η οποία έχει δεκτή ρίζα την : x=2(\sqrt{3}-1) .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11173
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 16, 2022 9:56 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 8:37 pm
Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο.png\bigstar Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=8 του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα TO .
Όλα εντός ύλης. Είναι x^2+y^2=16.
Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο.png
Σημείο που δημιουργεί διχοτόμο.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές
Από τα όμοια τρίγωνα STM, OEM, είναι \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{{SM}} = \dfrac{{SM - y}}{{x + 2}} \Rightarrow \dfrac{{2y}}{x} = SM = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 2x}}{y} = \dfrac{{16 + 2x}}{y} \Leftrightarrow

\displaystyle {y^2} = {x^2} + 8x \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 8 = 0, κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης