Ψάχνοντας το τριάρι

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ψάχνοντας το τριάρι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 14, 2022 11:06 am

Ψάχνοντας  το τριάρι.png
Ψάχνοντας το τριάρι.png (8.38 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Τα κάθετα μεταξύ τους τμήματα OA , OB έχουν άθροισμα 10 , με OA>OB . Τα ημικύκλια

με διαμέτρους τα OA,OB , τέμνονται στο σημείο S . Για ποια τιμή του x , είναι : OS=3 ;

Μπορείτε να το δείτε και ως άσκηση Γεωμετρίας .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11173
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 14, 2022 11:51 am

Ψάχνοντας το τριάρι.png
Ψάχνοντας το τριάρι.png (12.69 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Αρχικά έχω τους περιορισμούς,\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
10 - x > 0\\ 
x > 10 - x\\ 
x > 3\\ 
10 - x > 3 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{5<x<7}

\displaystyle 9 = BS \cdot SA \Leftrightarrow ({x^2} - 9)\left( {{{(10 - x)}^2} - 9} \right) = 81 \Leftrightarrow {x^4} - 20{x^3} + 82{x^2} + 180x - 900 = 0

Την αφήνω εδώ (αν βρω εύκολο τρόπο επίλυσης της εξίσωσης θα επανέλθω).


Επεξεργασία: Έβαλα το σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Ιαν 14, 2022 12:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13920
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 14, 2022 12:01 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 11:51 am
Την αφήνω εδώ (αν βρω εύκολο τρόπο επίλυσης της εξίσωσης θα επανέλθω).
Έτσι την έκανα και εγώ ή και με μία άλλη παραλλαγή (μέσω της ιδιότητας BA=BS+SA και με Πυθαγόρειο τα BA, BS, SA). Από εκεί και πέρα η εξίσωση φαίνεται δυσπρόσιτη δεδομένου ότι το Λογισμικό έβγαλε ρίζες τις 5\pm \sqrt{34\pm 3\sqrt {109} }. Άρα μάλλον εκτός παιδιάς...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11173
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 14, 2022 12:06 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 12:01 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 11:51 am
Την αφήνω εδώ (αν βρω εύκολο τρόπο επίλυσης της εξίσωσης θα επανέλθω).
Έτσι την έκανα και εγώ ή και με μία άλλη παραλλαγή (μέσω της ιδιότητας BA=BS+SA και με Πυθαγόρειο τα BA, BS, SA). Από εκεί και πέρα η εξίσωση φαίνεται δυσπρόσιτη δεδομένου ότι το Λογισμικό έβγαλε ρίζες τις 5\pm \sqrt{34\pm 3\sqrt {109} }. Άρα μάλλον εκτός παιδιάς...
Η \displaystyle 5 + \sqrt {34 - 3\sqrt {109} }\simeq 6,6368 είναι δεκτή.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8368
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 14, 2022 12:18 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 11:06 am
Ψάχνοντας το τριάρι.pngΤα κάθετα μεταξύ τους τμήματα OA , OB έχουν άθροισμα 10 , με OA>OB . Τα ημικύκλια

με διαμέτρους τα OA,OB , τέμνονται στο σημείο S . Για ποια τιμή του x , είναι : OS=3 ;

Μπορείτε να το δείτε και ως άσκηση Γεωμετρίας .
Επειδή τα σημεία A,S,B είναι συνευθειακά θα έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \hfill \\ 
  A{B^2} = {\left( {SA + SB} \right)^2} = S{A^2} + S{B^2} + 2SA \cdot SB \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Εξισώνω τα δεύτερα μέλη και με τους συμβολισμούς του θεματοδότη προκύπτει:
Ψάχνοντας το τριάρι.png
Ψάχνοντας το τριάρι.png (8.05 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
\left( {\left( {x - 13} \right)\left( {x + 3} \right)} \right)\left( {\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)} \right) = 81 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 10x - 39} \right)\left( {{x^2} - 10x + 21} \right) = 81

Θέτω : {x^2} - 10x = y < 0 και προκύπτει: \left( {y - 39} \right)\left( {y + 21} \right) = 81 με λύσεις:

\left\{ \begin{gathered} 
  y = 9 - 3\sqrt {109}  \hfill \\ 
  y = 9 + 3\sqrt {109}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\, δεκτή η y = 9 - 3\sqrt {109} και άρα {x^2} - 10x + 3\sqrt {109}  - 9 = 0 απ’ όπου :

\left\{ \begin{gathered} 
  x = 5 + \sqrt {34 - 3\sqrt {109} }  \hfill \\ 
  x = 5 - \sqrt {34 - 3\sqrt {109} }  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. δεκτές και οι δύο .

Παρατήρηση

Οι πράξεις μέχρι και το σημείο :

Θέτω : {x^2} - 10x = y < 0 και προκύπτει: \left( {y - 39} \right)\left( {y + 21} \right) = 81 με λύσεις:

Είναι με το χέρι, μετά με λογισμικό .

Χρησιμοποιώ την διαφορά τετραγώνων . Αν θέλετε σας τα γράφω
.

Εβαλα δεκτές και τις 2 γιατί μπορεί κάποιος να θεωρήσει ως x=OB


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ψάχνοντας το τριάρι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 14, 2022 7:13 pm

Με κάποιες παραλλαγές και στο γεωμετρικό και στο αλγεβρικό μέρος : Για 5<x<10
τριάρι.png
τριάρι.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές
Είναι :AB=\sqrt{2x^2-20x+100} και : x(10-x)=3\sqrt{2x^2-20x+100}

(όλα θετικά ) , άρα : x^4-20x^3+82x^2+180x-900=0 . Τώρα :

x^4-20x^3+100x^2-18x^2+180x-900=0

\Leftrightarrow (x^2-10x)^2-18(x^2-10x)-900=0 .

Επειδή : x(10-x)>0 , x(x-10)=x^2-10x<0 . Για : x^2-10x=y<0 ,

η εξίσωση : y^2-18y-900 , δίνει την δεκτή ρίζα : y=9-3\sqrt{109}

και αντικαθιστώντας , βρίσκω την μοναδική δεκτή ρίζα : x=5+\sqrt{34-3\sqrt{109}} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης