Εξίσωση

#1

Να λύσετε στο $\Bbb{R}$ την εξίσωση

$\displaystyle \sin^3{x}(1+\cot{x})+\cos^3{x}(1+\tan{x})=\cos{2x}$

#2

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 31, 2021 8:47 pm
Να λύσετε στο $\Bbb{R}$ την εξίσωση

$\displaystyle \sin^3{x}(1+\cot{x})+\cos^3{x}(1+\tan{x})=\cos{2x}$

Γράφοντας $\cot x = \dfrac {\cos x}{\sin x},\, \cot x = \dfrac {\cos x}{\sin x}$ , η εξίσωση γίνεται

$\sin ^3 x + \sin ^2 x \cos x + \cos ^3 x + \cos ^2 x \sin x= \cos 2x$ ισοδύναμα

$\sin ^3 x + \sin ^2 x \cos x + \cos x (1-\sin ^2 x) + (1-\sin ^2 x)\sin x = \cos 2x$ και άρα

$\cos x +\sin x = \cos 2x$ , δηλαδή $\sin x = \cos 2x - \cos x$ . Πάλι ισοδύναμα

$2\sin \dfrac {x}{2} \cos \dfrac {x}{2} = -2 \sin \dfrac {3x}{2} \sin \dfrac {x}{2}$ , δηλαδή $\sin \dfrac {x}{2} \left ( \cos \dfrac {x}{2} + \sin \dfrac {3x}{2} \right )=0$

Έπεται $\sin \dfrac {x}{2}=0$ ή $\cos \dfrac {x}{2} = \sin \dfrac {-3x}{2} = \cos \left ( \dfrac {\pi}{2} + \dfrac {3x}{2} \right )$ .

Οι τελευταίες είναι στάνταρ και απλές. Και λοιπά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Οπως εγραψε και ο Μιχάλης παραπάνω αρκεί να λύσουμε την

$\displaystyle \cos x +\sin x = \cos 2x$ με $\displaystyle \cos x \sin x\neq 0$

Υψώνοντας στο τετράγωνο γίνεται $\displaystyle \sin 2x=-(\sin 2x)^{2}$

Προκύπτει ότι $\displaystyle \sin 2x=-1$ που δίνει

$\displaystyle x=k\pi -\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

Οι παραπάνω λύσεις την ικανοποιούν οπότε είναι ακριβώς αυτές.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση