Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1483
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Νοέμ 18, 2021 10:08 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

\pi \cdot \cos \left( \pi^{2x-x^2}\right) = a -\sqrt{3} \cdot \pi \cdot \sin \left( \pi^{2x-x^2}\right)

έχει ακριβώς μια λύση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13170
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 20, 2021 12:31 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 18, 2021 10:08 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

\pi \cdot \cos \left( \pi^{2x-x^2}\right) +\sqrt{3} \cdot \pi \cdot \sin \left( \pi^{2x-x^2}\right)=a

έχει ακριβώς μια λύση.
\dfrac{1}{2} \cdot \cos \left( \pi^{2x-x^2}\right) +\dfrac{\sqrt{3}}{2}  \cdot \sin \left( \pi^{2x-x^2}\right)=\dfrac{a}{2\pi}

 \Leftrightarrow \sin \left( \dfrac{\pi}{6}+\pi^{2x-x^2}\right)=\dfrac{a}{2\pi}
παράξενο   ημίτονο.png
παράξενο ημίτονο.png (4.65 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Η μοναδική οριζόντια ευθεία που έχει ένα ακριβώς κοινό σημείο με την γραφική παράσταση

της : f(x)= \sin \left( \dfrac{\pi}{6}+\pi^{2x-x^2}\right) , είναι η : y=-\dfrac{1}{2} , συνεπώς : a=-\pi .

Σημείωση : Τα παραπάνω είναι συμβολή στην προσπάθεια λύσης και ... όχι λύση .


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 969
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Τριγωνομετρικό-εκθετική εξίσωση με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Νοέμ 20, 2021 6:52 pm

Η g(x)=sin(\frac{\pi}{6}+\pi^{1-x^{2}}) είναι άρτια στο R και

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ΜΟΝΑΔΙΚΑ στη θέση x=0, το g(0)=sin \frac{7 \pi}{6}=- \frac{1}{2}.

Πράγματι,

1-x^{2} \leq 1 \Leftrightarrow 0 < \pi^{1-x^{2}} \leq \pi \Leftrightarrow \frac{\pi}{6} <\frac{\pi}{6}+\pi^{1-x^{2}}   \leq \frac{7 \pi}{6} \Rightarrow

g(0)= -\frac{1}{2} \leq g(x) \leq 1.

Επομένως, κάθε τιμή y_{0} που λαμβάνει η g σε κάποιο x_{0} \neq 0, τη λαμβάνει σίγουρα και στο -x_{0}.

Η μοναδικότητα της λύσης που ζητά η άσκηση εξασφαλίζεται μόνο για

\frac{a}{2 \pi}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow a=- \pi.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης