Τοιχοποιία

KARKAR · #1

: Τοιχοποιία.png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

$\bigstar$ Στο τραπέζιο ABCD

, η μεγάλη βάση είναι τριπλάσια της μικρής . Ποιο είναι το μέγιστο μέρος

της επιφάνειάς του τραπεζίου , το οποίο μπορούμε να καλύψουμε με το ορθογώνιο KLMN

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 12:11 pm
Τοιχοποιία.png $\bigstar$ Στο τραπέζιο , η μεγάλη βάση είναι τριπλάσια της μικρής . Ποιο είναι το μέγιστο μέρος

της επιφάνειάς του τραπεζίου , το οποίο μπορούμε να καλύψουμε με το ορθογώνιο ;

Έστω

Φέρνω και τα ύψη AE=DZ=h.

: Τοιχοποιία.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

$\displaystyle \frac{y}{h} = \frac{{BK}}{{BE}} = \frac{{CL}}{{CZ}} = \frac{{BL + CL}}{{BE + CZ}} = \frac{{3a - x}}{{2a}} \Leftrightarrow y = \frac{{(3a - x)h}}{{2a}}$

$\displaystyle \frac{{(KLMN)}}{{(ABCD)}} = \frac{{xy}}{{2ah}} = \frac{{3ax - {x^2}}}{{4{a^2}}}$ και παίρνει μέγιστη τιμή όταν $\boxed{x = \frac{{3a}}{2}}$

και είναι $\boxed{{\left[ {\frac{{(KLMN)}}{{(ABCD)}}} \right]_{\max }} = \frac{9}{{16}}}$

#3

Θεωρώ τα προς στιγμή σταθερά ,

και το ύψος : $\boxed{k = x + y}$ του τραπεζίου ABCD

.

$E = \left( {ABCD} \right) = 2ak\,\,\left( 1 \right)$ . Θέτω NM = u

και άρα $T = \left( {KLMN} \right) = ux\,\,(2)$ .

: μεσότοιχος.png (14.18 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Επειδή $\dfrac{{3a - u}}{{u - a}} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{{k - x}} \Rightarrow u = \dfrac{a}{k}\left( {3k - 2x} \right)\,\,\left( 3 \right)$ . Λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$

$\boxed{f(x) = \frac{T}{E} = \frac{1}{{2{k^2}}}\left( { - 2{x^2} + 3kx} \right)}$ Το τριώνυμο της παρένθεσης παρουσιάζει μέγιστο

Για ${x_0} = \dfrac{3}{4}k$ το $f\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{9}{{16}}$

nickchalkida · #4

(... και μία πρακτική, που πιθανώς να μην συνίσταται ως λύση για τον συγκεκριμένο φάκελο.)

Επειδή για δεδομένο ύψος τραπεζίου και δεδομένο ύψος τοίχου το (KLMN)

δεν εξαρτάται από την σχετική θέση της μικρής προς την μεγάλη βάση,
μπορούμε να υποθέσουμε ότι το (ABCD)

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άν $E=AB \cap CD$ ,
το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση μέγιστης τοιχοποιίας για το ισοσκελές EBC

με βάση

.

Εύκολα (ή ίσως με ξεχωριστό λήμμα) μπορούμε να δούμε ότι η μέγιστη τοιχοποιία σε ισοσκελές τρίγωνο,
επιτυγχάνεται όταν το ύψος του τοίχου φτάνει το μέσο των σκελών του τριγώνου, άρα θα είναι τότε

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & {(KLMN) \over (EBC)} = {1 \over 2} \cr & {(EBC) \over (EAB)} = {9 \over 1} \rightarrow {(EBC) \over (EBC)-(EAB)} = {9 \over 9- 1} \rightarrow {(EBC) \over (ABCD)} = {9 \over 8} \cr \end{aligned} \right \} \rightarrow {(KLMN) \over (ABCD)} = {1 \over 2} \cdot {9 \over 8} = {9 \over 16} }$

Τοιχοποιία

Τοιχοποιία

Re: Τοιχοποιία

Re: Τοιχοποιία

Re: Τοιχοποιία

Μέλη σε σύνδεση